Géométrie projective: Explorer la géométrie projective en vision par ordinateur

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que la géométrie projective

La géométrie projective est une branche des mathématiques qui se concentre sur l'étude des qualités géométriques qui restent inchangées quelles que soient les transformations qui leur sont appliquées. Cela indique que, contrairement à la simple géométrie euclidienne, la géométrie projective se caractérise par un environnement distinct, un espace qui fait l'objet du projet et une collection limitée de notions géométriques fondamentales. Pour une dimension donnée, les intuitions fondamentales sont que l'espace projectif a un plus grand nombre de points que l'espace euclidien, et que des transformations géométriques sont autorisées qui changent les points supplémentaires en points euclidiens, et vice versa.

Comment vous en bénéficierez

(I) Informations et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Géométrie projective

Chapitre 2 : Plan projectif

Chapitre 3 : Espace projectif

Chapitre 4 : Géométrie affine

Chapitre 5 : Théorème de Desargues

Chapitre 6 : Dualité (géométrie projective)

Chapitre 7 : Quadrangle complet

Chapitre 8 : Homographie

Chapitre 9 : Configuration de Desargues

Chapitre 10 : Conique section

(II) Répondre aux principales questions du public sur la géométrie projective.

(III) Exemples concrets d'utilisation de la géométrie projective dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Les professionnels, les étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, les passionnés, les amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type de géométrie projective. p>

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 30 avr. 2024

Aperçu du livre

Géométrie projective

Exploration de la géométrie projective dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

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Géométrie projective

Exploration de la géométrie projective dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry

Copyright

Géométrie © projective 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Géométrie projective

Chapitre 2 : Plan projectif

Chapitre 3 : Espace projectif

Chapitre 4 : Géométrie affine

Chapitre 5 : Théorème de Desargues

Chapitre 6 : Dualité (géométrie projective)

Chapitre 7 : Quadrilatère complet

Chapitre 8 : Homographie

Chapitre 9 : Configuration de Desargues

Chapitre 10 : Section conique

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Géométrie projective

La géométrie projective est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des qualités géométriques qui sont invariantes sous les transformations projectives. La géométrie projective utilise donc un environnement différent de celui de la géométrie euclidienne traditionnelle et emploie un sous-ensemble plus restreint des notions fondamentales de la géométrie. Il y a plus de points dans l'espace projectif que dans l'espace euclidien de même dimension, et les transformations géométriques sont autorisées qui convertissent les points supplémentaires (appelés « points à l'infini ») en points euclidiens, et vice versa.

Ce nouveau concept de transformation, plus radical dans ses conséquences que ne peuvent l'affirmer une matrice de transformation et des translations, mais conserve des propriétés significatives pour la géométrie projective (les transformations affines). Le premier problème auquel sont confrontés les mathématiciens en territoire inconnu est de déterminer quel type de géométrie est approprié. Comme on peut l'observer dans le dessin en perspective, les angles ne sont pas invariants par rapport aux transformations projectives, ils ne peuvent donc pas être référencés de la même manière en géométrie projective qu'ils le sont en géométrie euclidienne. La notion de perspective a été une source d'inspiration pour la géométrie projective. Lorsqu'elle est traduite dans le langage de la géométrie projective, l'idée que deux droites parallèles se rencontrent à l'infini prend un nouveau sens. Encore une fois, cette idée est fondée sur le bon sens ; Par exemple, dans un dessin en perspective, les lignes de train convergent vers l'horizon. Pour en savoir plus sur la géométrie projective en deux dimensions, consultez le plan projectif.

Bien que les concepts aient été disponibles plus tôt, la géométrie projective n'a vraiment pris son essor qu'au XIXe siècle. Parmi ces domaines se trouve la théorie de l'espace projectif complexe, où les nombres complexes sont utilisés comme coordonnées (coordonnées homogènes). La géométrie projective a été à l'origine du développement de plusieurs branches importantes des mathématiques plus abstraites, telles que la théorie des invariants, l'école italienne de géométrie algébrique et le programme d'Erlangen de Felix Klein, qui a conduit à l'étude des groupes classiques. En tant que géométrie synthétique, le domaine a attiré de nombreux experts à part entière. La géométrie finie est un autre domaine issu de la recherche axiomatique en géométrie projective.

De nombreux sous-domaines d'étude se sont développés à partir du domaine original de la géométrie projective ; Par exemple, la géométrie algébrique projective (l'étude des variétés projectives) et la géométrie différentielle projective (l'étude des invariants différentiels des transformations projectives).

Géométrie non métrique de base, la géométrie projective ne dépend pas de la mesure de la distance. À commencer par la disposition des points et des lignes en deux dimensions. Desargues et d'autres, enquêtant sur les fondements de l'art de la perspective, ont été les premiers à découvrir qu'il y a, en fait, un certain attrait géométrique dans ce contexte aride. Les théorèmes qui peuvent être appliqués à la géométrie projective sont plus courts et plus simples. Certains théorèmes concernant les cercles peuvent être considérés comme des exemples particuliers de ces théorèmes généraux, et en géométrie projective (complexe), les différentes sections coniques sont égales les unes aux autres.

La géométrie projective est apparue comme une branche à part entière des mathématiques grâce aux efforts de mathématiciens comme Jean-Victor Poncelet et Lazare Carnot au début du XIXe siècle. Comme la géométrie affine et la géométrie euclidienne, la géométrie projective peut être dérivée du programme d'Erlangen de Felix Klein ; La géométrie projective se distingue par des invariants sous transformations du groupe projectif.

À la suite d'une étude intensive du vaste corpus de théorèmes dans le domaine, les bases de la géométrie projective ont été établies. Il existe deux invariants fondamentaux sous les transformations projectives : la structure d'incidence et le rapport croisé. Si nous ajoutons une droite (hyperplan) « à l'infini » au plan affine (ou espace affine) et que nous la traitons comme si elle était « ordinaire », nous avons un modèle de géométrie projective. La recherche axiomatique, d'autre part, a découvert des plans non-desarguesiens comme preuve que les axiomes d'incidence peuvent être modélisés (en seulement deux dimensions) par des structures inaccessibles au raisonnement via des systèmes de coordonnées homogènes.

La géométrie projective et la géométrie ordonnée peuvent toutes deux servir de base à la géométrie affine et euclidienne, ce qui les rend fondamentalement simples. fournissant ainsi une prémisse unique sur laquelle la géométrie peut être construite.

Pappus d'Alexandrie, qui vivait au IIIe siècle, est crédité de la découverte des premières propriétés géométriques projectives. Desargues a créé une nouvelle méthode de dessin de la perspective qui tient compte de la circonstance où le point de fuite est à l'infini. Il a élargi le champ de la géométrie pour inclure la situation générale de la géométrie euclidienne, dans laquelle les droites parallèles sont effectivement parallèles. Blaise Pascal, à l'âge de 16 ans, s'est inspiré des travaux de Desargues sur les sections coniques pour développer le théorème de Pascal. L'essor ultérieur de la géométrie projective doit beaucoup aux apports de Gaspard Monge au tournant du XIXe siècle. L'œuvre de Desargues est tombée dans l'oubli jusqu'en 1845, date à laquelle Michel Chasles en découvre un exemplaire dans un tiroir. Entre-temps, l'ouvrage fondateur sur la géométrie projective de Jean-Victor Poncelet paraît en 1822. En utilisant le pôle concret et la relation polaire par rapport à un cercle, Poncelet a établi un lien entre les qualités métriques et projectives en étudiant l'invariance des objets sous projection centrale. Des modèles, tels que le modèle de Klein de l'espace hyperbolique, ont finalement été prouvés pour les géométries non euclidiennes nouvellement découvertes.

En 1855 A.

F.

Möbius a écrit un article sur les permutations, maintenant appelées transformations de Möbius, des cercles généralisés de plan complexe.

Les projectivités de la droite projective complexe sont représentées ici par ces transformations.

L'étude des lignes spatiales, Julius Plücker a utilisé des coordonnées homogènes dans sa description, puis nous avons examiné l'ensemble des droites sur le quadrique de Klein, l'une des premières contributions de la géométrie projective à une discipline en développement appelée géométrie algébrique, une branche de la géométrie inspirée des techniques projectives.

Les hypothèses de Lobatchevski et Bolyai sur la géométrie hyperbolique se sont avérées correctes en grande partie grâce aux modèles du plan hyperbolique fournis par la géométrie projective. C'est le cas du modèle du disque de Poincaré où les cercles généralisés perpendiculaires au cercle unité correspondent à des « droites hyperboliques » (géodésiques), et les « translations » de ce modèle sont décrites par des transformations de Möbius qui associent le disque unité à lui-même.

Une métrique de Cayley-Klein est utilisée pour calculer la distance entre deux points, basée sur le rapport croisé, d'où son invariant central de projection.

Dans la théorie des espaces métriques, les translations sont classées comme une variété d'isométries, des transformées linéaires partielles, le groupe linéaire projectif, et comme des transformations linéaires de ce groupe, Par exemple, SU(1), 1).

Poncelet, Jakob Steiner et d'autres n'ont pas cherché à élargir la géométrie analytique avec leurs travaux. Des méthodes synthétiques étaient censées être mises en œuvre, avec l'espace projectif tel que nous le connaissons maintenant ajouté axiomatiquement. Par conséquent, il peut être difficile de reformuler les premiers travaux en géométrie projective afin qu'ils soient rigoureux selon les normes d'aujourd'hui. Les méthodes axiomatiques peuvent fournir des modèles qui défient la description de l'algèbre linéaire, même dans le cas simple du plan projectif.

Clebsch, Riemann, Max Noether et d'autres ont repoussé les limites des méthodes existantes en géométrie en étudiant les courbes algébriques universelles ; Cela a été suivi par le développement de la théorie des invariants. L'école italienne de géométrie algébrique (Enriques, Segre, Severi) s'est éloignée du sujet traditionnel à la fin du siècle, dans un domaine qui nécessitait des techniques plus avancées.

Bien qu'il existe un grand nombre de documents écrits sur le sujet, la géométrie projective est tombée en disgrâce dans la seconde moitié du XIXe siècle. En particulier, Schubert a fait des travaux en géométrie énumérative qui sont maintenant considérés comme préfigurant la théorie des classes de Chern, qui sont comprises pour décrire la topologie algébrique des grassmanniens.

Le développement de la mécanique quantique par Paul Dirac s'est fortement appuyé sur la géométrie projective. Heisenberg était ébranlé et découragé par l'idée que les observations quantiques pourraient échouer, tandis que Dirac, qui avait déjà étudié les plans projectifs sur des anneaux non commutatifs, était probablement moins affecté par ce nouveau développement. Dans ses derniers travaux, Dirac s'est fortement appuyé sur des dessins de géométrie projective pour saisir le sens intuitif de ses