Transformation affine: Libérer des perspectives visuelles : explorer la transformation affine en vision par ordinateur

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que la transformation affine

En géométrie euclidienne, une transformation affine ou affinité est une transformation géométrique qui préserve les lignes et le parallélisme, mais pas nécessairement les distances et les angles euclidiens.

En géométrie euclidienne, une transformation affine ou affinité est une transformation géométrique qui préserve les lignes et le parallélisme, mais pas nécessairement les distances et les angles euclidiens. p>

Comment vous en bénéficierez

(I) Informations et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Transformation affine

Chapitre 2 : Carte linéaire

Chapitre 3 : Translation (géométrie)

Chapitre 4 : Groupe affine

Chapitre 5 : Espace affine

Chapitre 6 : Matrice de transformation

Chapitre 7 : Système de coordonnées barycentriques

Chapitre 8 : Espace de coordonnées réel

Chapitre 9 : Valeurs propres et vecteurs propres

Chapitre 10 : Décomposition propre d'une matrice

(II) Répondre aux principales questions du public sur la transformation affine.

(III) Exemples concrets d'utilisation de la transformation affine. dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Professionnels, étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, passionnés, amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances de base ou des informations pour tout type de transformation affine.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 28 avr. 2024

Aperçu du livre

Transformation affine

Déverrouiller les perspectives visuelles : exploration de la transformation affine dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

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Transformation affine

Déverrouiller les perspectives visuelles : exploration de la transformation affine dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry

Copyright

Affine Transformation © 2024 de Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Transformation affine

Chapitre 2 : Carte linéaire

Chapitre 3 : Translation (géométrie)

Chapitre 4 : Groupe affine

Chapitre 5 : Espace affine

Chapitre 6 : Matrice de transformation

Chapitre 7 : Système de coordonnées barycentriques

Chapitre 8 : Espace de coordonnées réel

Chapitre 9 : Valeurs propres et vecteurs propres

Chapitre 10 : Décomposition propre d'une matrice

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Transformation affine

Une transformation affine (du latin affinis, « relié à ») est une transformation géométrique en géométrie euclidienne qui maintient les lignes droites et le parallélisme, mais modifie les longueurs et les directions des angles et des distances impliqués.

Une définition plus générale d'une transformation affine est un automorphisme d'un espace affine (les espaces euclidiens sont des cas particuliers d'espaces affines), c'est-à-dire une fonction qui mappe un espace affine sur lui-même tout en maintenant le rapport des longueurs des segments de droite parallèles. Par conséquent, après une transformation affine, les ensembles de sous-espaces affines parallèles conservent leur parallélisme. Les distances et les angles entre les lignes ne sont pas toujours conservés par une transformation affine, mais les rapports de distance le long d'une ligne droite sont conservés.

En supposant que X est l'ensemble des points d'un espace affine, nous pouvons écrire chaque transformation affine sur X comme la combinaison d'une transformation linéaire sur X et d'une translation de X. Il n'est pas nécessaire que le point de départ de l'espace affine reste le même lors d'une transformation affine, contrairement à une transformation linéaire. Par conséquent, toutes les transformations affines sont linéaires, mais toutes les transformations linéaires ne sont pas affines.

Les transformations affines comprennent la translation, l'agrandissement, la réduction, l'homologie, la similarité, la réflexion, la rotation, le mappage de cisaillement et toute combinaison ou séquence de ceux-ci.

Les transformations affines sont les transformations projectives d'un espace projectif qui préservent l'invariance de l'hyperplan à l'infini, définissant l'espace affine comme le complément de l'hyperplan à l'infini.

Une application affine est une forme plus générale d'une transformation affine.

Supposons un corps k et un espace affine X, Soit V l'espace vectoriel auquel il appartient.

Une bijection f de X sur elle-même est appelée une transformation affine, ce qui signifie qu'une application linéaire g de V à V est bien définie par l'équation {\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);} ici, comme d'habitude, Le vecteur libre du point 2 au point 1 est noté par la différence de ces deux points, et « bien défini » signifie que {\displaystyle y-x=y'-x'}

{\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}

Si X a au moins deux dimensions, alors il existe une bijection de X sur lui-même, notée f, telle que :

Si S est un sous-espace affine de X en dimension d, alors f (S) est aussi un sous-espace affine de X en dimension d.

Il s'ensuit que f (S) et f (T) sont parallèles si et seulement si S et T sont des sous-espaces affines parallèles de X.

Les transformations affines satisfont à ces deux conditions, qui expriment précisément ce que l'on entend par l'expression « f préserve le parallélisme ».

La deuxième condition découle logiquement de la première, de sorte qu'elles ne peuvent pas être considérées comme séparées.

Un espace affine, par définition, V agit sur X, de sorte que, pour chaque ensemble de deux (x, v) dans X × V est associé un point y dans X.

On peut désigner cette action par v→(x) = y.

Ici, nous utilisons la convention selon laquelle v→ = v sont deux notations interchangeables pour un élément de V.

En fixant un point c dans X on peut définir une fonction mc : X → V par mc(x) = cx→.

En supposant un c, il s'agit d'une correspondance un-à-un avec cette fonction, et donc, a une fonction inverse mc−¹ : V → X donnée par mc−1(v) = v→(c).

En définissant ces opérations, on peut transformer X en un espace vectoriel (par rapport à c) :

{\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}

et

{\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}

Malgré le fait que cet espace vectoriel d'origine c doive être formellement distingué de l'espace affine X, en pratique il est généralement désigné par le même symbole et ce n'est qu'après qu'une origine a été spécifiée qu'il est mentionné qu'il s'agit d'un espace vectoriel. Cette reconnaissance permet la transformation d'une représentation vectorielle en une représentation ponctuelle et inversement.

Pour toute transformation linéaire λ de V, L(c) est une fonction que l'on peut définir, λ) : X → X par

{\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}

Si c'est le cas, L(c), λ) est une transformation affine de X qui laisse le point c fixe.

Il s'agit d'une application linéaire de X à une autre variable, représentée par un espace vectoriel avec c en son centre.

Soit σ n' importe quelle transformation affine de X.

Choisissons un point c dans X et considérons la translation de X par le vecteur {\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}} , noté Tw.

Les transformations affines incluent les translations, et les transformations affines incluent leur composition.

À la lumière de ce c spécifique, il existe une transformation linéaire unique λ de V telle que

{\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}

En d'autres termes, si nous considérons X comme un espace vectoriel, alors toute transformation affine arbitraire de X peut être écrite comme la composition d'une transformation linéaire de X et d'une translation de X.

Les transformations affines sont généralement définies en fonction de cette représentation (le choix de l'origine étant implicite).

Compte tenu de ce qui précède, les applications affines sont construites en combinant une fonction de translation avec une application linéaire.

La multiplication des matrices est utilisée pour représenter des applications linéaires en algèbre vectorielle standard, pour représenter des translations par addition vectorielle.

Formellement, dans la limite des dimensions finies, si l'application linéaire est représentée comme une multiplication par une matrice inversible A et la translation comme l'addition d'un vecteur \mathbf {b} , une application affine f agissant sur un vecteur \mathbf {x} peut être représentée par

{\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

À l'aide d'une matrice améliorée et d'un vecteur amélioré, il n'est pas nécessaire de multiplier plusieurs matrices pour représenter la translation et la carte linéaire.

La méthode nécessite l'ajout d'un « 1 » final à tous les vecteurs, et que la ligne inférieure de toutes les matrices soit remplie de zéros, l'ajout d'une colonne la plus à droite (vecteur de translation), ainsi qu'un seul nombre dans le coin inférieur droit.

Si A est une matrice,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

signifie la même chose que

{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

La matrice de transformation affine est un autre nom pour la matrice augmentée illustrée ci-dessus.

Dans la plupart des situations, lorsque le vecteur de la dernière ligne n'est pas limité à , {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]} la matrice est convertie en une matrice de transformations projectives (car elle peut également être utilisée pour effectuer des transformations projectives).

Cette représentation présente l'ensemble de toutes les transformations affines inversibles comme le produit semi-direct de K^{n} et {\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)} .

La loi de la composition des fonctions définit ce groupe, appelé groupe affine.

Lors de la multiplication de matrices et de vecteurs, l'origine est toujours transférée à l'origine, et ne remplace donc jamais une translation, où le point de départ doit être déplacé vers un autre emplacement.

En ajoutant le chiffre supplémentaire « 1 » à la fin de chaque vecteur, cette dimension supplémentaire peut être considérée comme un sous-ensemble de l'espace cartographié.

À ce stade, lorsque la coordonnée supplémentaire est 1, l'espace d'origine est contenu dans cette région plus petite.

Ainsi, l'origine de l'espace d'origine peut être trouvée à {\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)} .

En appliquant une transformation linéaire à l'espace de dimension supérieure, nous pouvons effectuer une translation dans l'espace d'origine (plus précisément, une déformation en cisaillement).

Les coordonnées homogènes comprennent, par exemple, celles utilisées pour décrire l'espace de dimension supérieure.

En supposant un point de départ euclidien, l'espace projectif vrai existe dans les dimensions supérieures.

En multipliant les matrices correspondantes, un nombre quelconque de transformations affines peut être combiné en une seule lorsque l'on travaille avec des coordonnées homogènes. De nombreuses applications dans les domaines de la robotique, de la vision par ordinateur et de l'infographie reposent sur cette propriété.

Si les vecteurs {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dotsc ,\mathbf {x} _{n+1}} sont une base de l'espace vectoriel projectif du domaine et si {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\dotsc ,\mathbf {y} _{n+1}} sont les vecteurs correspondants dans l'espace vectoriel du codomaine, alors la matrice augmentée M qui réalise cette transformation affine

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

est

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}

Que le domaine, le codomaine et les espaces vectoriels d'image aient ou non le même nombre de dimensions, cette formulation s'applique toujours.

Par exemple, la transformation affine d'un plan vectoriel est déterminée de manière unique à partir de la connaissance de l'endroit où les trois sommets ( {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}} ) d'un triangle non dégénéré sont mappés à ( {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}} ), indépendamment du fait que le triangle soit non dégénéré ou non dans le codomaine et du nombre de dimensions du codomaine.

Préserve la structure affine pendant :

Lorsque trois points ou plus se trouvent le long de la même ligne, on dit qu'ils sont colinéaires, et cette propriété survit à la transformation.

Lorsque deux lignes ou plus subissent une transformation, leur parallélisme est préservé.

Un ensemble qui est convexe avant une transformation reste convexe après la transformation. De plus, les points extrêmes de l'ensemble transformé correspondent aux points extrêmes de l'ensemble d'origine.

Rapports des longueurs des segments de droite parallèles : pour les segments parallèles distincts définis par des points p_{1} et