Le Livre de Mathématique: Volume 3

Par Simone Malacrida

La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.
Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.
L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.
L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.
L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

• Langue: Français
• Éditeur: Simone Malacrida
• Date de sortie: 23 janv. 2023
• ISBN: 9798215733301

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Aperçu du livre

Le livre de mathématique: volume 3

SIMONE MALACRIDA

La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.

Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.

L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.

L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.

L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

Simone Malacrida (1977)

Ingénieur et écrivain, a travaillé sur la recherche, la finance, la politique énergétique et les installations industrielles.

INDEX ANALYTIQUE

37 – ÉQUATIONS INTÉGRALES ET INTÉGRALES-DIFFÉRENTIELLES

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38 – THÉORIE SPECTRALE

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39 – MAT HÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE DISCRÈTE

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40 – GÉOMÉTRIE FRACTALE

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41 – CALCUL NUMERIQUE

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42 – ANALYSE NUMERIQUE

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TROISIEME PARTIE : STATISTIQUES , ALGEBRE AVANCEE ET LOGIQUE AVANCEE

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43 – CALCUL COMBINATOIRE

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44 – STATISTIQUES ÉLÉMENTAIRES

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45 – VARIABLES ALÉATOIRES ET DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ

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46 – INFERENCE STATISTIQUE

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47 – PROCESSUS STOCHASTIQUE I

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48 – UNE ALGEBRE AVANCEE

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49 – STRUCTURES ALGÉBRIQUES

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50 – THÉORIE DE GALOIS

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51 – G EOMETRIE COMBINATOIRE

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52 – THÉORIE DES NOMBRE

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53 – LOGIQUE MATHÉMATIQUE AVANCÉE

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37

ÉQUATIONS INTÉGRALES ET DIFFÉRENTIELLES INTÉGRALES

Introduction et définitions

Une équation intégrale est une équation qui présente l'inconnue sous le signe de l'intégrale.

En fait, chaque fois que vous résolvez une équation différentielle, la formule de la solution est une équation intégrale, nous avons donc déjà beaucoup parlé de ces équations dans les chapitres précédents. Une équation intégrale linéaire a la forme suivante :

Où K(x,z) est le noyau de l'équation (qui peut être réelle ou complexe, symétrique ou antisymétrique) et f(x) est le terme connu.

Si f(x) est différent de zéro on parle d'équations de seconde espèce, s'il est égal à zéro on parle d'équations de première espèce.

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Équations intégrales de Fredholm et Volterra

Dans les équations intégrales, l'intégrale est définie de sorte que nous avons des extrêmes d'intégration.

Si ces extrêmes sont fixes on parle d'équation intégrale de Fredholm, si au contraire l'un des extrêmes est variable en x l'équation s'appelle de Volterra.

L'opérateur de Fredholm est défini comme un opérateur linéaire borné entre les espaces de Banach ayant un noyau et un con-noyau de dimension finie.

De plus, en disant T un opérateur de Fredholm (d'un espace X à un Y) et S un opérateur linéaire et borné (de l'espace Y à ce X) on a que

sont des opérateurs compacts sur X et Y.

L'indice d'un opérateur de Fredholm est défini comme suit :

L'ensemble des opérateurs de Fredholm forme un ensemble ouvert dans l'espace de Banach d'opérateurs linéaires bornés et continus.

L'indice de la composition de deux opérateurs de Fredholm est égal à la somme des indices des opérateurs individuels, de plus l'opérateur de Fredholm ajouté a l'indice opposé par rapport à celui de départ.

Enfin, étant donné un opérateur de Fredholm et un compact, leur convolution renvoie à nouveau un opérateur de Fredholm ayant le même indice que celui de départ.

Le produit tensoriel entre un espace de Banach et son dual est un espace complet muni de la norme suivante :

On note ainsi l'espace défini par complétion avec cette norme (appelé B l'espace générique de Banach) .

Un noyau de Fredholm est un élément de cet espace topologique projectif.

Chaque noyau peut être associé à une trace et à un opérateur linéaire de forme canonique :

De plus, tout noyau est dit p-sommable si la relation suivante est vraie :

La théorie de Fredholm suppose que le noyau de Fredholm est assimilable à une fonction de Green, solution de l'équation différentielle :

Où L est un opérateur différentiel linéaire.

En appliquant cette équation aux espaces de Sobolev et en écrivant l'équation précédente comme une équation aux valeurs propres :

Une expression du noyau de Fredholm peut être dérivée :

Pour l'équation de Fredholm inhomogène, nous pouvons réécrire le terme connu de cette manière :

Et la solution est donnée par :

En utilisant la théorie spectrale, l'opérateur de résolution est le suivant :

Et la solution est donnée par :

Le théorème de Fredholm fournit une condition suffisante pour l'existence de solutions des équations de Fredholm : le noyau doit être un carré sommable dans un ensemble approprié.

L'alternative de Fredholm fournit une condition nécessaire et suffisante pour l'existence des solutions : la solution doit être orthogonale à l'ensemble complet des solutions de l'équation d'addition correspondante ie de l'équation de Fredholm obtenue en remplaçant le noyau de Fredholm par son addition et chaque scalaire par son conjugué complexe.

Dans ces cas, la résolvante peut être développée dans une série de puissance via la série de Liouville-Neumann :

Si le noyau est continu, chaque équation intégrale de Fredholm a une solution unique pour tout terme connu et la solution, représentée par la série de Liouville-Neumann, est uniformément convergente.

Le déterminant de Fredholm est le suivant :

Alors que le déterminant de la résolvante est la fonction dite zêta de Riemann :

Une équation de Fredholm inhomogène du premier type ayant des extrema d'intégration illimités et un noyau défini ainsi K(x,z)=K(xz) peut être vue comme la convolution de K(x,z) et y(z) donc la solution peut être écrit en termes de transformée de Fourier ou transformée anti-Fourier :

Il existe d'autres équations intégrales et intégro-différentielles dont la physique est parsemée, on peut notamment rappeler les équations de Maxwell pour l'électromagnétisme, l'équation de compressibilité pour la mécanique statistique et la thermodynamique et l'équation de Boltzmann pour les statistiques physiques.

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Calcul des écarts

Un domaine d'application fondamental des équations intégrales concerne le calcul des variations, c'est-à-dire la recherche des points extrémaux des fonctionnelles.

Le lemme fondamental du calcul des variations énonce que étant donné une fonction continue dans un ensemble ouvert et une fonction continue et continûment différentiable dans le même ensemble ouvert, si la condition suivante est vérifiée :

Et la fonction continue et continûment différentiable est nulle aux deux extrêmes, alors l'autre fonction est nulle dans l'ensemble.

Grâce à ce lemme, il est possible de passer d'une version intégrale du calcul des variations, comme le principe variationnel d'Hamilton, à la résolution d'équations différentielles, comme celles d'Euler-Lagrange.

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Des exercices

Exercice 1

Résolvez l'équation intégrale suivante :

Rappelant la règle de convolution de la transformée de Laplace :

Nous appliquons la transformée de Laplace des deux côtés et exploitons la linéarité :

Connaissant la transformée de la fonction sinus et la règle de convolution :

À partir duquel:

Isoler la transformation :

Qui peut être réécrit comme suit :

À ce stade, nous appliquons la transformée de Laplace inverse et nous avons la solution :

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Exercice 2

Résolvez l'équation intégro-différentielle suivante :

Nous appliquons la transformée de Laplace et rappelons sa linéarité :

En rappelant la transformée de la dérivée, de l'unité, du sinus et la règle de convolution on a :

On isole la transformée :

Décomposer le dénominateur :

Factorisation en fractions simples :

Les coefficients seront donnés par :

Ainsi:

À ce stade, tout ce qui reste est l'anti-transformation selon Laplace.

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Exercice 3

Trouver la solution de l'équation de Fredholm, intégrale, inhomogène, linéaire et de type II :

Où lambda est un paramètre arbitraire, tandis que :

Ce sont des fonctions données et continues dans [a,b]. K(x,y) est appelé le noyau de l'équation et vaut :

Dans l'espace C[a,b] considérons :

La définition de la distance implique que :

Si cela se produit :

L'application A est une contraction dans l'espace C[a,b]. Cet espace est complet. Par le théorème de contraction, l'équation présente, pour un lambda suffisamment petit, une et une seule solution donnée par :

Exercice 4

Résoudre, au sens des distributions, l'équation d'Abel suivante :

Rappelant la fonction gamma d'Euler, l'équation d'Abel peut s'écrire :

Où est-il:

Et le produit donné ci-dessus est la convolution au sens des distributions.

Par les propriétés de la convolution distributionnelle, nous avons :

En utilisant la relation explicite, on obtient la solution :

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Exercice 5

À l'aide de la méthode du solveur, trouvez la solution de :

Le premier noyau itéré est nul, en effet :

Le noyau est donc orthogonal à lui-même et la solution s'obtient simplement en substituant g(x) sous le signe intégral :

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Exercice 6

En utilisant la méthode de contraction, résolvez :

On remarque que:

En prenant le maximum, nous avons :

L'opérateur B est une contraction. Endroit:

Est trouvé:

Donc cette fonction est un point fixe et est la solution.

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Exercice 7

À l'aide de la méthode de résolution, calculez :

Endroit:

Nous avons:

La méthode résolvante peut être utilisée si :

Dans ce cas:

La solution est donc :

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Exercice 8

Trouvez la solution de l'équation de Volterra en utilisant à la fois la méthode de contraction et la méthode de résolution :

Pour la méthode de contraction, nous prenons :

Nous avons:

Pour la méthode résolvante, nous considérons le noyau de Fredholm tronqué :

Les noyaux itérés seront donnés par :

Et donc le solveur est :

La solution est donc :

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Exercice 9

Calculez les valeurs propres et les fonctions propres de l'équation intégrale :

Où est-il:

Le noyau est défini par une fonction bornée et est un carré sommable en [0,1] x [0,1]. Il est également symétrique. Le noyau peut s'écrire :

Les valeurs propres et les fonctions propres sont données par :

Pour:

Il n'y a pas de solutions, alors que pour :

Il existe une infinité de solutions données par :

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Exercice 10

En utilisant la méthode alternative de Fredholm, résolvez :

Où est-il:

Le noyau est défini par une fonction au carré bornée et sommable, de plus il est symétrique. Nous pouvons le réécrire ainsi :

L'équation aux valeurs propres est donnée par :

Il a des solutions uniquement pour :

Ces solutions sont :

Notons que pour tout n, on a :

Cela signifie qu'il existe une et une seule solution quel que soit g(x), en fait :

Cette résolution est :

Exercice 11

En utilisant la technique des noyaux dégénérés, résolvez :

Rappelons que les noyaux dégénérés sont de la forme :

Où est-il:

Ce sont des vecteurs linéairement indépendants.

La solution peut s'écrire :

Dans notre cas, nous avons :

En intégrant on obtient :

Cela conduit au système suivant :

La solution est donc :

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Exercice 12

Trouvez les solutions de :

Avec:

Où u satisfait l'équation d'Euler-Lagrange.

L'équation d'Euler-Lagrange est donnée par :

La seule solution qui satisfait les conditions aux extrêmes est :

Cependant, cette solution n'est pas un minimum, en effet compte tenu de la séquence :

Nous avons:

Étant donné que:

Alors m=0. Cependant, la fonctionnelle I admet des minima dans la classe des fonctions continues et régulières par morceaux, c'est-à-dire dans toutes les fonctions qui admettent un nombre fini de discontinuités de première espèce dans la dérivée.

Il s'ensuit qu'il est possible de construire des fonctions infinies de ce type qui satisfont l'équation et sont des minima.

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Exercice 13

Trouver les solutions de la fonctionnelle intégrale suivante qui n'a pas de solution dans la classe des fonctions :

Avec une fonction d'intégrande convexe e telle que u satisfasse l'équation d'Euler-Lagrange avec :

Tu vas avoir:

Avec ced et constantes réelles. Il n'y a pas de solutions de classe . Considérant également que :

Il n'y a pas non plus de solutions dans la classe des fonctions régulières par morceaux.

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Exercice 14

Trouver l'extreme de :

Où u satisfait l'équation d'Euler-Lagrange et on a :

Devant satisfaire l'équation d'Euler-Lagrange, on a :

Et alors:

Les fonctions sont une famille d'hyperboles.

En imposant les conditions aux limites, on a :

L'extrema vaut alors :

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Exercice 15

Trouver l'extreme de :

Avec:

Nous avons:

À partir duquel:

C'est une famille de cercles dont le centre est sur l'axe des abscisses.

La solution, si elle existe, est unique.

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Exercice 16

Trouver les solutions de la fonctionnelle :

Où u satisfait l'équation d'Euler-Lagrange et on a :

Nous avons ça :

Donc une solution est :

La fonction doit être continue en c donc :

De plus:

Et alors:

Deux solutions sont obtenues. Un pour :

Et son:

L'autre pour :

Et son:

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Exercice 17

En utilisant la technique des noyaux dégénérés, calculez :

Nous avons:

De la définition on obtient :

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Exercice 18

En utilisant la technique des noyaux dégénérés, calculez :

Nous avons:

De la définition on obtient :

Exercice 19

Calculez les valeurs propres et les fonctions propres de l'équation intégrale :

Avec:

Le noyau est borné, sommable et symétrique.

Il peut s'écrire :

L'opérateur inverse est un opérateur différentiel du premier ordre tel que :

Dont la solution générale est :

Les fonctions propres normalisées sont :

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Exercice 20

En utilisant l'alternative de Fredholm, résolvez :

Le noyau est borné, sommable et symétrique.

Il peut s'écrire :

L'équation qui détermine les valeurs propres est :

Qui n'a de solution que pour :

Nous avons donc :

Toutes les valeurs propres sont différentes de 1 et donc la solution est unique pour tout g(x).

Puisque g(x)=0 la solution est :

38

THÉORIE SPECTRALE

Définitions

Soit H un espace de Hilbert. Dans la suite on supposera toujours que H est un espace complexe.

On considère le produit scalaire et l'espace des opérateurs linéaires continus sur H .

Étant donné un opérateur A appartenant à cet espace, on dira qu'un nombre complexe appartient à l'ensemble résolvant de