Le Livre de Mathématique: Volume 2

Par Simone Malacrida

La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.
Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.
L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.
L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.
L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

• Langue: Français
• Éditeur: Simone Malacrida
• Date de sortie: 23 janv. 2023
• ISBN: 9798215577905

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

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SIMONE MALACRIDA

La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.

Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.

L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.

L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.

L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

Simone Malacrida (1977)

Ingénieur et écrivain, a travaillé sur la recherche, la finance, la politique énergétique et les installations industrielles.

INDEX ANALYTIQUE

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26 – FONCTIONS RÉELLES MULTIVARIABLES

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27 – GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

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28 – CALCUL INTÉGRAL M ULTIVARIABLE

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29 – INTÉGRALES DE SURFACE ET DE VOLUME

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30 – TENSEURS ET MATHÉMATIQUES TENSORIELLES

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31 – ANALYSE COMPLEXE

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32 – ANALYSE FONCTIONNELLE

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33 - TRANSFORMATION

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34 - REPARTITIONS

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35 – ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

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36 – ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES

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26

FONCTIONS RÉELLES MULTIVARIABLES

Introduction

Les fonctions de variables réelles à plusieurs variables sont une extension de ce qui a été dit pour les fonctions réelles à une variable.

Presque toutes les propriétés mentionnées pour les fonctions à une variable restent valables (telles que l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité), à l'exception de la propriété d'ordre qui n'est pas définissable.

Le domaine d'une fonction multivariée est donné par le produit cartésien des domaines calculés sur les variables simples.

Un level set, ou courbe de niveau, est l'ensemble de points tel que :

Le level set avec c=0 est utilisé pour analyser le signe de la fonction dans le domaine.

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Opérations

La définition topologique de la limite est la même que celle donnée pour les fonctions à une variable, la définition métrique change comme suit :

La limite existe si sa valeur ne dépend pas du sens dans lequel elle est calculée.

Il en va de même pour la continuité.

Une fonction est dite continue séparément par rapport à l'une de ses variables si elle est continue en fonction de l'unique variable, en gardant les autres constantes.

La continuité séparée est une condition plus faible que la continuité globale sur toutes les variables.

Pour une fonction de plusieurs variables, cependant, il existe différents concepts de dérivée.

On appelle dérivée partielle la dérivée effectuée sur une seule des variables, en définissant toujours la dérivée comme la limite d'un rapport incrémental.

Pour distinguer la dérivée partielle de la totale, le symbole est utilisé .

Les dérivées partielles d'ordre supérieur renvoient l'ordre à l'exposant de ce symbole.

Un point est dit simple si les premières dérivées partielles sont continues et non nulles, mais si l'une des dérivées est nulle ou n'existe pas, le point est dit singulier.

La dérivabilité partielle implique une continuité séparée.

En étendant le concept de dérivée partielle d'un chemin le long des axes de coordonnées à n'importe quel chemin, nous avons la dérivée directionnelle.

Une fois qu'un vecteur unitaire générique est défini, la dérivée directionnelle le long de ce vecteur est donnée par :

La dérivée directionnelle indique le taux de variation de la fonction par rapport à la direction donnée.

La dérivée d'une fonction à plusieurs variables qui tient compte de la dépendance mutuelle des variables elles-mêmes est définie comme la dérivée totale.

Par exemple nous avons :

Cependant, la dérivabilité n'est pas une condition suffisante pour la continuité.

Une condition suffisante est plutôt donnée par la dérivabilité.

Une fonction de plusieurs variables est différentiable en un point de dans un ensemble ouvert de l'espace euclidien à n dimensions R s'il existe une application linéaire L telle que la relation suivante soit vérifiée :

Le différentiel premier total est donné par le produit suivant :

Alors que la dérivée totale est donnée par .

La fonction est dérivable si elle est dérivable en tout point de son domaine.

Le théorème de la différentielle totale stipule qu'une fonction est différentiable en un point si toutes les dérivées partielles existent au voisinage du point et si ces dérivées partielles sont continues.

Si l'application est également continue, la fonction est dite continûment dérivable.

Le différentiel premier total peut également être exprimé comme suit :

Les différentiels totaux d'ordre supérieur peuvent être exprimés comme suit, pour une fonction de deux variables :

On appelle dérivées mixtes les dérivées d'ordre supérieur au premier qui prévoient la dérivation de variables différentes les unes des autres.

Pour une fonction à deux variables définie sur un ouvert, si elle admet des dérivées secondes mixtes continues, le théorème de Schwarz est vrai selon lequel l'ordre de la dérivation peut être inversé sans changer le résultat :

Si une fonction est différentiable en un point, alors toutes les dérivées partielles calculées en ce point existent et sont continues.

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Algèbre jacobienne, hessienne et nabla

L'application linéaire définie comme la somme des premières dérivées partielles est une matrice m lignes n colonnes appelée matrice jacobienne et est exactement l'équivalent de l'application linéaire L mentionnée précédemment :

Si m=1, la matrice jacobienne se réduit à un vecteur à n dimensions appelé gradient qui indique la direction de pente maximale du graphe de la fonction en un point.

Si n=1 la fonction paramétrise une courbe et sa différentielle est une fonction qui indique la direction de la tangente à la courbe au point.

Si m = n = 1, la condition de dérivabilité coïncide avec celle de dérivabilité et la matrice jacobienne est réduite à un nombre égal à la dérivée de la fonction en ce point.

Si m = n, la matrice jacobienne est carrée et son déterminant est appelé jacobien.

Le théorème de la fonction inverse stipule qu'une fonction continuellement différentiable est inversible si et seulement si son déterminant jacobien est non nul.

Si une fonction de plusieurs variables est différentiable, alors la dérivée directionnelle existe et est égale au produit scalaire entre le gradient par rapport à la variable unique et le verseur lui-même.

La dérivée directionnelle prend donc une valeur maximale lorsque le gradient et le vecteur unitaire sont parallèles et concordants, une valeur minimale lorsqu'ils sont parallèles et discordants, et une valeur nulle lorsqu'ils sont perpendiculaires.

Une différentielle est dite exacte si et seulement si elle est intégrable, c'est-à-dire si elle peut être exprimée en fonction de la deuxième classe de continuité simplement connexe (en d'autres termes, le théorème de Schwarz doit être vérifié).

Nous définissons le gradient comme la quantité qui, multipliée selon le produit scalaire avec n'importe quel vecteur, renvoie la dérivée directionnelle de la fonction par rapport au vecteur.

Le gradient est un champ vectoriel et, dans le cas d'un référentiel cartésien, c'est la somme des produits entre les dérivées partielles premières et les verseurs :

Où dans le deuxième membre il y a la notation selon l'opérateur nabla.

Cet opérateur différentiel est défini comme suit :

On définit la divergence d'un champ vectoriel continu et différentiable comme la fonction scalaire donnée par le produit scalaire entre l'opérateur nabla et le champ vectoriel :

On définit curl d'un champ vectoriel continu et différentiable, un champ vectoriel donné par le produit vectoriel entre l'opérateur nabla et le champ lui-même :

On définit le Laplacien le carré de l'opérateur nabla égal à :

Certaines propriétés de l'opérateur nabla sont les suivantes :

Si toutes les dérivées partielles secondes existent, nous définissons la matrice jacobienne du gradient comme hessienne de la fonction :

Si toutes les dérivées secondes sont continues, le théorème de Schwarz est valable et la matrice hessienne est symétrique.

Si le gradient de la fonction est nul en un point, ce point est appelé point critique.

Si à ce point aussi le déterminant de la matrice hessienne est nul alors le point critique est dit dégénéré.

Pour un point critique non dégénéré, si la matrice hessienne est définie positive alors la fonction a un minimum local en ce point, si au contraire elle est définie négative il y a un maximum local.

Si la matrice hessienne a toutes les valeurs propres non nulles et qu'elles assument à la fois des valeurs positives et négatives, ce point est appelé un point de selle.

Dans tous les autres cas, par exemple pour les matrices hessiennes semi-définies positives ou négatives, rien ne peut être dit sur la présence de points stationnaires.

Recherche de points stationnaires et méthode des multiplicateurs de Lagrange

Une condition nécessaire pour la recherche de maxima et de minima contraints est la méthode dite du multiplicateur de Lagrange.

Pour une fonction bidimensionnelle, cette méthode stipule que la condition nécessaire pour avoir un extremum contraint est que :

Les valeurs de sont précisément les multiplicateurs de Lagrange puisque la fonction h peut être définie comme le lagrangien du système.

Un cas pratique d'application de ce formalisme est celui de la mécanique lagrangienne dans laquelle les équations du mouvement sont obtenues en trouvant les points stationnaires d'une intégrale, appelée action.

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Fonctions implicites

Les fonctions implicites sont des fonctions du type :

Pour les fonctions bidimensionnelles, le théorème de Dini suivant est valable.

Considérant une fonction continûment différentiable définie sur un ensemble ouvert et un ensemble non vide dans lequel la fonction f(x,y) est nulle, alors il existe un point dans cet ensemble où la relation suivante est vérifiée :

Si ce point n'est pas critique, c'est-à-dire que l'inégalité est vraie :

Alors il existe un voisinage de ce point tel que l'ensemble donné par l'intersection de ce voisinage et l'ensemble dans lequel se situe le point non critique représente le graphe d'une fonction différentiable.

Cela revient à dire qu'il existe une seule fonction explicite du type y=y(x) ou x=x(y) qui relie les deux inconnues.

Ce théorème fournit donc une condition suffisante pour l'explicitation des fonctions implicites.

Dans plusieurs dimensions, les variables de fonction peuvent être divisées en deux blocs, un jusqu'au nième degré et un jusqu'au mième degré, comme suit :

La matrice jacobienne calculée dans l'ensemble ouvert à n+m dimensions peut être divisée en deux blocs, rappelant la division des variables :

En supposant que X est inversible.

Le théorème de la fonction implicite stipule qu'il existe une unique explicitation de la fonction f(x,y)=0. Cette fonction g(y)=x est continûment dérivable et la relation vaut :

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Des exercices

Exercice 1

Déterminez le domaine et les dérivées partielles de la fonction suivante :

Le domaine est donné par le dénominateur non nul, donc :

Les dérivées partielles sont simplement :

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Exercice 2

Déterminez le domaine et les dérivées partielles de la fonction suivante :

Le domaine est donné par le dénominateur différent de zéro et l'argument de la tangente différent de 90° et ses multiples, donc :

Les dérivées partielles sont simplement :

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Exercice 3

Déterminez le domaine et les dérivées partielles de la fonction suivante :

Le domaine est donné par le dénominateur non nul et l'argument du logarithme supérieur à zéro, ainsi :

Les dérivées partielles sont simplement :

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Exercice 4

Déterminez le domaine et les dérivées partielles de la fonction suivante :

Le domaine est donné par le dénominateur non nul et la racine supérieure ou égale à zéro, donc :

Les dérivées partielles sont simplement :

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Exercice 5

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de deux variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est de classe .

L'ensemble donné est compact.

D'après le théorème de Weierstrass, il existe un maximum et un minimum de la fonction dans l'ensemble.

Nous utilisons la méthode du multiplicateur de Lagrange pour trouver ces points.

Endroit:

On cherche les points stationnaires de la fonction :

Cela signifie que:

Ou alors: