Analyse Mathématique pour l'ingénieur: Analyse Mathématique pour l'ingénieur, #1

Par bekkai Messirdi

Il est ressources avocat et depuis minutieusement que les mathématiques constituent un segment indispensable pendant afflux progiciel en chapitre de étude et progiciel. Plusieurs outils sont présentement disponibles en deçà dimension de programmes permettant a l'bâtisseur et au soigné de amener le embarras qui se survenance à elles autrement s baguenauder sur l idéogramme des procédures mathématiques.

 

Malheureusement cela ne se passavant pas continuellement quand incidents. En effet, une tangible fraîcheur des théories mathématiques a été généralement à l'ascendance de devoirs des utilisateurs potentiels de ces boites à outils mathématiques. C'est exactement là-dedans satisfaire ce disparition de connaissances des théories mathématiques les davantage exploitées élément travailleur en fouille qu en génie que cet nature est offert à un allègre mythologique aux étudiants, ingénieurs, enseignants et chercheurs.

• Langue: Français
• Éditeur: bekkai Messirdi
• Date de sortie: 13 août 2022
• ISBN: 9798201020125

Aperçu du livre

Semestre impair

Analyse Mathématique pour l'Ingénieur

Cours et Exercices Corrigés

Sujets du DS1 et ES1 avec corrigés et barèmes détaillés

-  Intégrales Doubles et Triples

-  Analyse vectorielle

-  Séries Numériques

-  Suites et Séries de Fonctions

- 

Séries Entières

Professeur Bekkai MKSSFRDF

Semestre impair

Analyse Mathématique pour l'Ingénieur

Cours et Exercices Corrigés

Editions Al-Djazair

Table  des  mati`eres

I Semestre impair 5

1  Int´egrales  Doubles  et  Triples  7

1.1  Int´egrales doubles ...................................................7

1.1.1  Propri´et´es des int´egrales doubles .........................9

1.1.2  Th´eor`eme de Fubini ...................................10

1.1.3  Changement de variables dans les int´egrales doubles ..........13

1.2  Int´egrales triples ....................................................16

1.2.1  Th´eor`eme de Fubini ...................................17

1.2.2  Changement de variables dans les int´egrales triples ............20

1.3  Applications.........................................................22

1.3.1  Aire et volume........................................22

1.3.2  Centre  de  masse  (ou  centre  d’in´ertie  ou  baricentre  ou  centre  de gravit´e) et Moment d’inertie   26

1.4  Exercices  Corrig´es  sur  les  Int´egrales  Doubles  et  Triples .........30

2  Analyse vectorielle 53

2.1  Produit scalaire et produit vectoriel de deux vecteurs.....................53

2.2  Champs de scalaires et champs de vecteurs............................55

2.3  Op´erateurs de l’analyse vectorielle : ..................................56

2.4  Formes diff´erentielles ...............................................60

2.4.1  Formes diff´erentielles exactes, formes diff´erentielles ferm´ees ....60

2.5  Courbes param´etr´ees ..............................................62

2.6  Int`egrale curviligne et Circulation de champs de vecteurs ................65

2.7  Formule de Green-Riemann dans le plan...............................68

2.8  Surfaces et Int´egrales de surfaces ....................................69

2.8.1  Vecteur tangent et vecteur normal `a une surface ..............70

2.8.2  Int´egrales de surfaces ..................................73

2.8.3  Flux d’un champ de vecteurs..............................75

2.8.4  Formules de Stokes et d’Ostrogradski.......................77

2.9  Exercices  Corrig´es  sur  l’Analyse  Vectorielle ......................80

3  S´eries  Num´eriques  101

3.1  G´en´eralit´es ......................................................101

3.1.1  Condition n´ecessaire de convergence d’une s´erie ............102

3.1.2  Crit`ere de Cauchy de convergence d’une s´erie ..............103

3.1.3  Quelques exemples...................................103

3.1.4  Reste de rang n d’une s´erie num´erique ....................104

3.1.5  Espace vectoriel des s´eries convergentes ..................105

3

4  TABLE DES MATIE`RES

4.1.1  S´eries complexes ....................................105

3.2  S´eries `a termes r´eels positifs ......................................106

3.2.1  Comparaison des s´eries `a termes positifs ..................107

3.2.2  Comparaison d’une s´erie a` termes positifs a` une int´egrale .....109

3.2.3  Crit`eres de Cauchy et de d’Alembert ......................111

3.3  S´eries `a termes quelconques .......................................113

3.3.1  Convergence absolue..................................113

3.3.2  Multiplication des s´eries ................................114

3.3.3  S´eries altern´ees .....................................115

3.3.4  S´eries semi-convergentes ..............................117

3.3.5  R`egle d’Abel ........................................117

3.4  Exercices  Corrig´es  sur  les  s´eries  num´eriques ..................119

4  Suites  et  S´eries  de  Fonctions  137

4.1  Suites de fonctions..................................................137

4.1.1  Convergence simple et convergence uniforme des suites de fonctions 137

4.1.2  Th´eor`eme fondamentaux sur les limites des suites de fonctions ..141

4.2  S´eries de Fonctions ................................................144

4.2.1  Les quatre types de convergence..........................144

4.2.2  Les grands th´eor`emes : Propri´et´es des s´eries de fonctions uniform´ement convergentes  151

4.3  Exercices  Corrig´es  sur  les  suites  et  s´eries  de  fonctions ........155

5  S´eries  Enti`eres  167

5.1  G´en´eralit´es sur les s´eries enti`eres ................................167

5.1.1  D´efinition et premi`ere propri´et´es ........................167

5.1.2  Rayon de convergence d’une s´erie enti`ere .................168

5.1.3  Calcul du rayon de convergence..........................170

5.1.4  Op´erations sur les s´eries enti`eres .......................171

5.2  Propri´et´es des s´eries enti`eres .....................................172

5.3  D´eveloppement en s´erie enti`ere ....................................174

5.3.1  Recherche d’une condition pour le d´eveloppement en s´erie enti`ere .  174

5.3.2  D´eveloppement en s´erie enti`ere au voisinage d’un point x0 ........180

5.4  Application aux ´equations diff´erentielles ordinaires ....................181

5.5  Exercices  Corrig´es  sur  les  s´eries  enti`eres .....................184

6  Annexe 203

6.1  Sujets  du  DS1  et  ES1  avec  corrig´es  et  bar`emes  d´etaill´es .....203

Bibliographie 213

Premi`ere  partie Semestre impair

5

Chapitre 1

Int´egrales  Doubles  et  Triples

Les  int´egrales  multiples  constituent  la  g´en´eralisation  des  int´egrales  dites  simples  : c’est  `a  dire  les  int´egrales  d’une  fonction  d’une  seule  variable  r´eelle.  On  s’attache  ici  a`  la g´en´eralisation  a`  des  fonctions  dont  le  nombre  de  variables  est  plus  important  (deux  ou trois). Rappelons qu’une fonction r´eelle f, d´efinie sur un intervalle [a, b], est dite Riemann

int´egrable  si  on  peut  l’encadrer  entre  deux  fonctions  en  escalier ;  d’ou`  toute  fonction

∫b

l’aire  comprise  entre  le  graphe  de  f,  l’axe  xjox  et  les  droites  d’´equations  x = a  et  x = b.

En subdivisant l’intervalle [a, b] en n sous intervalles [xi−1, xi] de mˆeme longueur  b−a , on

d´efinit l’int´egrale de f  sur [a, b] par :

––––––––

b

f (x)dx =  lim

n

––––––––

n        

f (ti)(xi − xi−1)

→+∞ i=1

aire du rectangle de base [xi−1, xi]

et de hauteur f (ti)

ti ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n.

1.1  Int´egrales  doubles

Le plan R2  est muni du rep`ere orthonorm´e (O, i, j). Soit f  une fonction r´eelle de deux variables  x  et  y  continue  sur  un  un  domaine  born´e  D  de  R2   inclu  dans  un  rectangle [a, b]  [c, d], en fait [a, b] est la projection orthogonale de D sur l’axe des x et [c, d] est celle de D sur l’axe oy.

f : D −→ R

(x, y) ›→ f (x, y)

La  repr´esentation  graphique  de  f  est  une  surface  S  dans  l’espace  R3   muni  du  rep`ere orthonorm´e (O, i, j, k), S  ayant pour ´equation cart´esienne z = f (x, y).

7

––––––––

On  subdivise  [a, b]  en  n  parties  `a  l’aide  des  points  a  =  x0  <  x1  <  ...  <  xn  =  b  et on  subdivise  de  mˆeme  [c, d]  en  p  parties  par  des  points  c  =  y0  <  y1  <  ...  <  yp  =  d. Ainsi  on  a  subdivis´e  [a, b] × [c, d]  et  alors  le  domaine  D  en  n × p  sous-rectangles  Rij  = [xi−1, xi] × [yj−1, yj],  1  ≤ i  ≤ n  et  1  ≤ j  ≤ p.  Dans  chaque  sous-rectangle  Rij  ∩ D, on  choisit  un  point  quelconque  Mij  par  exemple  (xi, yj).  Consid´erons  la  somme  double suivante, appel´ee somme de Riemann de f  sur D  :

n p

Σ Σ f (xi, yj)(xi − xi−1)(yj − xj−1),

obtenue en calculant la somme des volumes des parall´el´epip`edes ´el´ementaires de bases les rectangles Rij et de hauteurs f (xi, yj), 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p.

Nous  admettons  la  propri´et´e  suivante  :  puisque  f  est  continue,  lorsque  (xi − xi−1)  et (yj −∫y∫j−1) tendent vers 0, la somme ci-dessus converge vers une quantit´e que nous notons

points (xi, yj) :

lim

n→+

+∞ Σ

Σ f (xi, yj)(xi − xi−1)(yj − xj−1) = ∫∫

––––––––

f (x, y)dxdy.

∞,p→

Rij ⊂D

i=1

j=1 D

D´efinition  1.1  On  appelle  I  l’int´egrale  double  de  la  fonction  f (x, y)  sur  le  domaine  D.

Remarque  1.1  1) Si f  est positive, l’int´egrale double I est le volume int´erieur au cylindre droit  de  section  D  limit´e  par  la  surface  S  d’´equation  z = f (x, y)  et  le  plan  z = 0.

2)  La  notion  d’int´egrale  double  introduite  conduit  au  calcul  de  l’aire  d’un  domaine  D

du plan R2. En effet, en particulier si f (x, y) = 1, alors :

––––––––

dxdy = lim

n→+

+∞ Σ

Σ(xi − xi−1)(yj − xj−1),

∞,p→

D Rij ⊂D

i=1

j=1

correspond au volume de l’ensemble dont la base est D et de hauteur constante 1, c’est donc  l’aire  de  D,  ds = dxdy  est  l’´el´ement  d’aire  en  coordonn´ees  cart´esiennes.

3 )  Lo rsque  D  est  le  rectangl e  [a, b] × [c, d],  on  choisit  les  subdivisions  r´eguli`eres  xi  =

Donc :

xi

––––––––

— xi−1

––––––––

= b − a

n

––––––––

, yj

––––––––

— yj−1

––––––––

= d − c,

n

∫∫ f (x, y)dxdy =

––––––––

lim

n

2 Σ f (a +

b − a

––––––––

i, c +

d − c

––––––––

j).

→+∞ n

D

i=1

n n

j=1

Exemple  1.1  En  utilisant  la  d´efinition,  calculer

[0,1]×[0,1]

(x + 2y)dxdy.

On a :

∫∫ (x + 2y)dxdy =

––––––––

lim

n

––––––––

i  j

2 f (  , )

[0,1]×[0,1]

→+∞ n

i=1

n

n  n

j=1

n

= lim

1  Σ Σ( i j

n→+∞ n2

––––––––

i=1 n

––––––––

j=1

n

+ 2  )

n n

1 Σ Σ

= lim (i + 2j)

n

= lim

n 3

ni + 2

n(n + 1)

→+∞ n

2

i=1

= lim

1   nn(n + 1) + n2(n + 1)

n→+∞ n3 2

1 3

= + 1 = .

2 2

1.1.1  Propri´et´es  des  int´egrales  doubles

En utilisant la d´efinition de l’int´egrale double on obtient directement les propri´et´es les plus simples mais utiles suivantes :

Th´eor`eme  1.1  Soient D  un domaine  born´e de  R2   et f  et g  deux fonctions  continues de

D dans R. λ, µ R.

1)  L’int´egrale  double  sur  le  domaine  D  est  lin´eaire  :

∫∫ (λf (x, y) + µg(x, y)) dxdy = λ ∫∫

f (x, y)dxdy + µ ∫∫

––––––––

g(x, y)dxdy.

2)  Additivit´e   de   l’int´egrale   double   par   d´ecoupage   :  Si  D  =  D1  ∪ D2  avec

D1 ∩ D2 = ∅,  alors  :

––––––––

D1∪D2

f (x, y)dxdy =

D1

f (x, y)dxdy +

D2

f (x, y)dxdy.

3)  Positivit´e  de  l’int´egrale  double  :  Si  f (x, y) 0  en  tout  point  (x, y)  de  D,

alors :

∫∫ f (x, y)dxdy ≥ 0.

4)  Croissance  de  l’int´egrale  double  :  Si  f (x, y) ≤ g(x, y),  ∀(x, y) ∈ D,  alors  :

∫∫

5)

.∫∫

f (x, y)dxdy ≤ ∫∫

f (x, y)dxdy. ≤ ∫∫

––––––––

g(x, y)dxdy

––––––––

|f (x, y)| dxdy.

. D . D

Preuve: Ces propri´et´es sont satisfaites au niveau des sommes de Riemann associ´ees, et passent donc directement a` la limite pour les int´egrales. On a :

n p n p

Σ Σ (f + g) (xi, yj)(xi − xi−1)(yj − xj−1) = Σ Σ f (xi, yj)(xi − xi−1)(yj − xj−1)

i=1

j=1

p

i=1

j=1

+ g(xi, yj)(xi − xi−1)(yj − xj−1);

j=1

n p n p

Σ Σ f (xi, yj)(xi − xi−1)(yj − xj−1) ≤ Σ Σ g(xi, yj)(xi − xi−1)(yj − xj−1)

si f ≤ g,

.Σ Σ

. Σ Σ

. i=1

––––––––

j=1

f (xi, yj)(xi − xi−1)(yj − xj−1). ≤

––––––––

i=1

––––––––

j=1

|f (xi, yj)| (xi − xi−1)(yj − xj−1).

Si on note la somme de Riemann de f  sur un domaine born´e D  parSn(f, D), alors si

D = D1 ∪ D2  avec D1 ∩ D2 = ∅,

Sn(f, D) = Sn(f, D1) + Sn(f, D2).

1.1.2  Th´eor`eme  de  Fubini

Le  th´eor`eme  de  Fubini  offre  un  moyen  de  ramener  le  calcul  des  int´egrales  multiples (doubles et triples), a` celui des int´egrales simples des fonctions d’une seule variable.

Th´eor`eme  1.2  Soit f  une fonction continue sur un domaine born´e D  de R2. L’int´egrale double  de  f  sur  D  se  calcule  par  l’une  des  fa¸cons  suivantes  :

1)  Si  D = [a, b] × [c, d]  est  un  pav´e  de  R2,  alors  :

∫∫ f (x, y)dxdy =

∫∫ f (x, y)dxdy =

∫b ∫d

f (x, y)dy dx

D [a,b]  [c,d] a c

∫d ∫b 

= f (x, y)dx dy.

c a

De plus si f (x, y) = h(x)g(y), alors :

∫∫

∫b

 ∫d 

[a,b]×[c,d]

h(x)g(y)dxdy =

a

h(x)dx 

g(y)dy .

2)  Si  l’on  peut  repr´esenter  le  domaine  D  sous  la  forme  :

D =  (x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b,  g1(x) ≤ y ≤ g2(x)  ou`  g1, g2 ∈ C([a, b])} ,

alors :

∫∫

∫b   g∫2(x) 

f (x, y)dxdy =

D a

g1(x)

f (x, y)dy dx.

3)  Si  l’ensemble  D  est  donn´e  sous  la  forme  :

D =  (x, y) ∈ R² : a ≤ y ≤ b,  g1(y) ≤ x ≤ g2(y)  ou`  g1, g2 ∈ C([a, b])} ,

alors :

∫∫

∫b   g∫2(y) 

f (x, y)dxdy =

D a

g1(y)

f (x, y)dx dy.

Remarque  1.2  Pour calculer une int´egrale double on peut pr´ef´erer utiliser l’une ou l’aure formule  du  th´eor`eme  de  Fubini,  c’est  `a  dire  :

∫∫ ∫b   g∫2(x)  ∫b   g∫2(y) 

f (x, y)dxdy =

D a

g1(x)

f (x, y)dy dx =

g1(y)

f (x, y)dx dy.

Exemple  1.2  1)  Calculons  ∫∫ ex+ydxdy  ou`  D = [0, 1] × [0, 2].  On  a  :

exeydxdy =  exdx  eydy = (e − 1)(e² − 1).

∫∫ ex+ydxdy = ∫∫

1 2

2)  Calculons x²ydxdy  ou`  D  est  le  triangle  de  sommets  O(0, 0),  A(1, 0)  et  B(0, 1).

D

L’ensemble D s’exprime sous la forme :

D = (x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}

––––––––

Exemple  1.3  En  appliquant  le  th´eor`eme  de  Fubini  on  obtient  :

∫∫ ∫1   ∫1−x 

∫1 y2    1−x

1 ∫1

x²ydxdy =

D

0    0

x²ydy dx = x²

2 0

0

dx =

2

0

x²(1 − x)²dx

1

= 1 x⁴ − 2x³ + x²  dx =

1   x⁵

x4 x³  ¹ 1

− + = .

3) 

Calculons ∫∫ (x+y)dxdy ou` D est le triangle de sommets O(0, 0), A(2, 0) et B(1, 1).

D  = (x, y) R2  : 0 y 1,  y x 2 y   .  Alors  en  appliquant  le  th´eor`eme  de Fubini on a :

∫∫ ∫1   ∫2−y

 ∫1    x2

2−y

(x + y)dxdy =

D

0    y

(x + y)dx dy =

0

+ xy dy

2 y

∫1

––––––––

2 − 2y²

4

dy = .

3

4)  Calculons ex2 dxdy ou` D =   (x, y) R2  : 0 y x 1   . Le domaine est l’int´erieur

D

du  triangle  limit´e  par  l’axe  des  x,  la  droite  x = 1  et  la  droite  y = x.

D = (x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ x = (x, y) ∈ R² : 0 ≤ y ≤ 1 et y ≤ x ≤ 1 .

Dans  ce  cas  on  est  oblig´e  d’int´egrer  d’abord  par  rapport  `a  y  puis  par  rapport  `a  x,  car la primitive de la fonction ex2 ne s’exprime pas au moyen des fonctions usuelles.

∫∫ ex2

––––––––

dxdy =

∫1 ∫x

––––––––

ex2

dy dx =

––––––––

1

xex2

––––––––

dx =

"ex2 #1

e − 1 .

2

1.1.3  Changement  de  variables  dans  les  int´egrales  doubles

Le cadre g´en´eral du probl`eme est le suivant. On a une fonction continue sur un domaine born´e D  de R2,

f : D −→ R

(x, y) ›→ f (x, y)

On se donne en plus des nouvelles variables, ou coordonn´ees, (u, v) avec un changement de variables :

ϕ   : ∆ −→ D

(u, v) −→ ϕ(u, v) = (x, y) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v))

qui est une bijection entre le domaine ∆ et le domaine D, en fait ϕ(∆) = D ou bien

∆ = ϕ−¹(D).

 ϕ(u, v) = (x, y) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v))  

 (u, v) = ϕ−¹(x, y) = (φ1(x, y), φ2(x, y)) 

Le chagement de variables ϕ permet de transformer les variables (u, v) du domaine ∆ en les variables (x, y) du domaine D, la bijection r´eciproque ϕ−¹ de ϕ transforme les variables (x, y) de D en les variables (u, v) de ∆.

On voudrait exprimer l’int´egrale double   f (x, y)dxdy  `a l’aide d’une int´egrale sur ∆

D

dans  les  nouvelles  coordonn´ees  (u, v).  Nous  allons  avoir  un  r´esultat  analogue  `a  celui  de

l’int´egrale  simple,  ou`  le  changement  de  variable  x  =  ϕ(t)  nous  demandait  de  remplacer dx par ϕj(t)dt qui est la diff´erentielle de ϕ(t). C’est le Jacobien qui va jouer le rˆole de la d´eriv´ee en plusieurs variables.

D´efinition  1.2  On  appelle  matrice  Jacobienne  de  la  fonction  ϕ : ∆   D,  la  matrice  `a

2 lignes et 2 colonnes :

∂ϕ1 (u, v) ∂ϕ1 (u, v) ∂x (u, v) ∂x(u, v)  

Le  d´eterminant  de  la  matrice  Jacobienne,  not´e  Jϕ(u, v),  est  appel´e  le  Jacobien  de  la transformation ϕ :

∂ϕ1 (u, v) ∂ϕ1 (u, v)

∂ϕ1

∂ϕ2

∂ϕ1

∂ϕ2

Jϕ(u, v) = ∂u

∂v (u, v)

(u, v) −

(u, v)

(u, v).

Remarque 1.3 Si dans un domaine le Jacobien d’un changement de variables ne s’an- nule  jamais  (sauf  peut-ˆetre  en  des  points  isol´es)  alors  ce  changement  de  variable  est  bi- jectif.

Interpr´etation  du  Jacobien  :  L’´el´ement  de  surface  d´ecrit  par  les  variables  (u, v) c’est `a dire dudv n’a pas forc´ement la mˆeme ‹ taille › que l’´el´ement de surface d´ecrit par les variables (x, y) c’est `a dire dxdy. Lorsque le changement de variable est correct, admet un Jacobien non nul, on a la relation dxdy = |Jϕ(u, v)| dudv ou bien dudv =   Jϕ−1(u, v)  dxdy.

Formule de changement de variables : Soient f une fonction continue sur un domaine born´e D de R2  et ∆  (u, v)    ϕ  ϕ(u, v) = (x, y)  D une bijection de classe C¹ du domaine ∆  R2  au domaine D  R2. Soit   Jϕ   la valeur absolue du d´eterminant de

la matrice jacobienne de ϕ. Alors, on a la formule de changement de variables :

D=ϕ(∆)

f (x, y)dxdy = ∫∫

f ◦ ϕ(u, v) |Jϕ(u, v)| dudv

Exemple 1.4 Calculer I = ∫∫ (x − 1)²dxdy sur le domaine :

D = (x, y) ∈ R² : −1 ≤ x + y ≤ 1, − 2 ≤ x − y ≤ 2} .

En effectuant le changement de variables u = x + y et v = x − y, ou bien x = u+v et

y = u−v , on a :

ϕ(u, v)   =    u + v , u − v   = (x, y),

ϕ−¹(x, y)  =   (x + y, x − y) = (u, v).

Le  domaine  D  est  transform´e  par  ce  changement  en

∆ = ϕ−¹(D) = (u, v) ∈ R² : −1 ≤ u ≤ 1, − 2 ≤ v ≤ 2} = [−1, 1] × [−2, 2].

. ∂x (u, v) ∂x(u, v)  .

Le jacobien de ce changement de variables est Jϕ(u, v) = ∂u ∂v

. 1 1 .

∂u ∂v

. 2 2 . = − 1

0,  ∀(u, v).  ϕ  est  bien  un  changement  de  variables  et  on  a  :

2 − 2 .

2

I = ∫∫

(x − 1)²dxdy = ∫∫

u + v

2

2

— 1 |Jϕ(u, v)| dudv

= 1 ∫∫

(u + v − 2)² dudv

[−1,1]×[−2,2]

1 ∫1 ∫2

1

= u²v + uv² + v

8 3

−1

2

—4uv − 2v + 4v du

−2

1 1

= 4u² +

8

−1

16 − 16u + 16

––––––––

du =

1 u³

4

8 3

64 ¹

+ u 8u²

3 −1

= 1  8 + 128   = 17 .

Changement  de  variables  en  coordonn´ees  polaires

Si le domaine d’int´egration ou la fonction a` int´egrer est en x²+y², le calcul de l’int´egrale est souvent plus facile en passant en coordonn´ees polaires, via l’application ϕ d´efinie par :

ϕ   : ∆ −→ D = ϕ(∆)

(r, θ) −→ ϕ(r, θ) = (x, y) = (r cos θ, r sin θ)

Alors ϕ est de classe C¹ sur ∆ =]0, +∞[×[0, 2π[, et son Jacobien vaut :

∂x(r, θ) ∂x(r, θ)

. ∂y (r, θ) ∂y (r, θ) .

cos θ r sin θ

sin θ r cos θ

ϕ est bien bijective, est donc un changement de variables de ∆ =]0, + [ [0, 2π[ dans

D = ϕ(∆) et on a :

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫

––––––––

f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ.

Exemple  1.5  1) Calculer ∫∫   dxdy    ou` D = {(x, y) ∈ R2  : 1 ≤ x² + y² ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0} .

D repr´esente le quart de la couronne comprise entre les deux cercles centr´es `a l’origine

et  de  rayons  respectifs  1  et  2.  D’ou`  en  passant  en  coordonn´ees  polaires,  x  =  r cos θ,

y = r sin θ  ou`  1 ≤ r ≤ 2  et  0 ≤ θ ≤ π ,  on  a  :

dxdy x2 + y2 =

––––––––

rdrdθ

r2 =

π

² dr 2

r

––––––––

dθ =

––––––––

π [ln r]² = 2

––––––––

π

ln 2.

2

D [1,2]×[0, π ] 1 0

2)  Soit  D  le  disque  de  rayon  a  >  0  centr´e  `a  l’origine  du  rep`ere  orthonorm´e  xoy, d’in´equation  cart´esienne  x² + y²  <  a².  D  est  transform´e  en  coordonn´ees  polaires  en  un rectangle ∆ dans le plan (r, θ),

∆ =  (r, θ) ∈ R² : 0 < r < a,  θ ∈ [0, 2π[} =]0, a[×[0, 2π[.

––––––––

Aire(D) =

∫∫ dxdy = ∫∫

––––––––

rdrdθ =

∫a ∫2π