Manuel de mathématiques avancées

Par Simone Malacrida

Ce livre explore une grande partie des mathématiques avancées, en commençant par les jalons de l'analyse mathématique et en passant par la géométrie différentielle et fractale, la logique mathématique, la topologie algébrique, les statistiques avancées et l'analyse numérique.
En même temps, un aperçu complet des équations différentielles et intégrales, de l'analyse fonctionnelle, du développement avancé des matrices et des tenseurs sera fourni.
Avec le bagage mathématique exposé, il sera possible de comprendre tous les mécanismes de description des connaissances scientifiques exprimées à travers une grande variété de formalismes.

• Langue: Français
• Éditeur: Simone Malacrida
• Date de sortie: 9 janv. 2023
• ISBN: 9798215701331

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Aperçu du livre

Manuel de mathématiques avancées

SIMONE MALACRIDA

Simone Malacrida (1977)

Ingénieur et écrivain, il a travaillé sur la recherche, la finance, la politique énergétique et les installations industrielles.

Ce livre explore une grande partie des mathématiques avancées, en commençant par les jalons de l'analyse mathématique et en passant par la géométrie différentielle et fractale, la logique mathématique, la topologie algébrique, les statistiques avancées et l'analyse numérique.

En même temps, un aperçu complet des équations différentielles et intégrales, de l'analyse fonctionnelle, du développement avancé des matrices et des tenseurs sera fourni.

Avec le bagage mathématique exposé, il sera possible de comprendre tous les mécanismes de description des connaissances scientifiques exprimées à travers une grande variété de formalismes.

INDEX ANALYTIQUE

––––––––

INTRODUCTION

I – TOPOLOGIE GENERALE

II - LIMITES ET CONTINUITE

III – CALCUL DIFFÉRENTIEL

IV – CALCUL INTÉGRAL

V – ETUDE DES FONCTIONS A VARIABLES REELLES

VI – GEOMETRIE ANALYTIQUE AVANCEE

VII – GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES

VIII – FONCTIONS RÉELLES À VARIABLES MULTIPLES

IX – FONCTIONS IMPLICITES

X – MATHÉMATIQUES AVANCÉES VECTORIELLES ET MATRICIELLES

XI – GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

XII – MATHÉMATIQUES TENSORIELLES

XIII – CALCUL INTÉGRAL DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

XIV – DEVELOPPEMENTS EN SERIE

XV – ANALYSE COMPLEXE

XVI – ANALYSE FONCTIONNELLE

XVII – TRANSFORMER

XVIII – DISTRIBUTIONS

XIX – ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

XX – ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES

XXI – ÉQUATIONS INTÉGRALES ET INTÉGRALES-DIFFÉRENTIELLES

XXII – ALGÈBRE AVANCÉE

XXIII – STRUCTURES ALGÉBRIQUE

XXIV – THÉORIE DE GALOIS

XXV – GEOMETRIE COMBINATOIRE

XXVI – MATHÉMATIQUES DISCRÈTES

XXVII – STATISTIQUES AVANCEES

XXVIII – PROCESSUS STOCHASTIQUE

XXIX – ANALYSE NUMERIQUE

XXX – GEOMETRIE FRACTALE

XXXI – THÉORIE DES NOMBRE

XXXII – LOGIQUE MATHÉMATIQUE AVANCÉE

APOSTILLE

INTRODUCTION

Dans ce livre, nous fournirons tous les fondements des mathématiques avancées, y compris à la fois la grande discipline de l'analyse mathématique et tous les domaines disparates qui ont surgi au cours des deux derniers siècles, y compris, pour n'en citer que quelques-uns, la géométrie différentielle et fractale, géométries non euclidiennes, topologie algébrique, analyse fonctionnelle, statistiques, analyse numérique et logique mathématique.

La quasi-totalité de ces notions ont été développées après l'introduction du formalisme de l'analyse mathématique à la fin du XVIIe siècle et, depuis, le chemin des mathématiques s'est toujours poursuivi en parallèle entre ce secteur et toutes les autres sous-disciplines possibles qui peu à peu côte à côte et ont emprunté des chemins indépendants.

Pour bien comprendre ce qui est présenté dans le manuel, des connaissances et des prérequis de mathématiques élémentaires sont nécessaires, ce que nous ne rapporterons pas ici, comme par exemple tout ce qui touche à la trigonométrie, la géométrie analytique, les mathématiques matricielles, les nombres complexes et les principales fonctions élémentaires des réels. variable.

Toutes ces connaissances sont présentes dans le Manuel de mathématiques élémentaires précédemment publié qui doit être considéré comme préparatoire à ce qui sera expliqué ci-dessous et qui représente une sorte de premier volume de l'ensemble des connaissances mathématiques dont ce manuel est plutôt l'achèvement donné par La seconde partie.

Sur l'importance des mathématiques dans la société d'aujourd'hui et sur les diverses significations des mathématiques en tant que langage artificiel et universel qu'elle décrit la Natura, veuillez donc vous référer à l'introduction du manuel précédent susmentionné.

Il reste à comprendre pourquoi l'analyse mathématique a introduit cette ligne de partage entre les mathématiques élémentaires et avancées.

Deux domaines se complètent dans ce discours.

D'une part, ce n'est qu'avec l'introduction de l'analyse mathématique qu'il a été possible de décrire, avec un formalisme adapté, les équations qui régissent les phénomènes naturels, qu'ils soient physiques, chimiques ou d'autre extraction, par exemple sociale ou économique. En d'autres termes, l'analyse mathématique est l'outil principal pour construire ces mécanismes qui nous permettent de prédire les résultats, de concevoir des technologies et de réfléchir aux nouvelles améliorations à introduire.

D'autre part, l'analyse mathématique possède, dans sa nature même, une particularité spécifique qui la distingue nettement des mathématiques élémentaires antérieures. Cela apparaîtra dès le premier chapitre de ce manuel, pour l'instant nous nous bornerons à dire comment l'analyse mathématique pourvoit à des considérations locales, non exclusivement ponctuelles. Le simple passage de la ponctualité à la localité permettra de construire un discours de la globalité, allant bien au-delà du connaissable antérieur.

Ce manuel ne prétend pas présenter toutes les facettes possibles de chaque secteur des mathématiques avancées ni même exposer les démonstrations des théorèmes infinis qui parsèment l'analyse mathématique et d'autres disciplines connexes. Tout d'abord ce n'est pas dans le cadre de l'écriture et puis un nombre exorbitant de pages serait nécessaire, ce qui contraste avec l'esprit d'un manuel, par sa nature synthétique et compendium.

Dans ce manuel, deux grands thèmes seront repris à plusieurs reprises, pour souligner leur importance mutuelle.

Le premier est donné par la géométrie avancée, sous toutes ses formes, précisément pour indiquer le cheminement parallèle entre mathématiques et géométrie qui est présent depuis l'aube de l'histoire.

Le deuxième argument est typique du saut introduit par l'analyse mathématique et est lié à la topologie que, pour des raisons de compréhension, nous présenterons dans plusieurs parties du manuel.

À la fin du livre, des sujets d'intérêt général qui peuvent faire abstraction de l'analyse mathématique, tels que l'algèbre avancée, les statistiques et l'analyse numérique, seront présentés.

Le dernier chapitre sera consacré à la logique mathématique avancée. A y regarder de plus près, le premier chapitre du Manuel de mathématiques élémentaires précité était consacré à la logique élémentaire. Clôturer ce manuel de mathématiques avancées, toujours avec la logique, n'est en aucun cas un hasard : le développement des mathématiques est interne aux constructions logiques qui donnent la boussole de référence à tout raisonnement humain.

Chaque chapitre individuel peut être considéré comme un domaine complet des mathématiques en soi, mais ce n'est qu'en analysant tous les sujets qu'il sera possible de toucher l'immensité des mathématiques et c'est pourquoi l'ordre des chapitres reflète une succession de connaissances en progrès continu.

I

TOPOLOGIE GENERALE

Le saut conceptuel entre les mathématiques élémentaires et avancées n'était évident qu'après l'introduction de l'analyse mathématique. Le fait que cette discipline soit locale, et non ponctuelle, a conduit à l'étude et au développement de la topologie, entendue comme l'étude des lieux et des espaces non seulement dans un sens géométrique, mais dans un sens beaucoup plus large. La topologie générale donne les bases de tous les secteurs sous-jacents, parmi lesquels on peut inclure la topologie algébrique, la différentielle, la plus avancée, etc.

Nous définissons la topologie comme une collection T de sous-ensembles d'un ensemble général X pour lequel les trois propriétés suivantes sont vérifiées :

1) L'ensemble vide et l'ensemble général X appartiennent à la collection T.

2) L'union d'une quantité arbitraire d'ensembles appartenant à T appartient à T.

3) L'intersection d'un nombre fini d'ensembles appartenant à T appartient à T.

Un espace topologique est défini par un couple (X, T) et les ensembles constituant la collection T sont des ensembles ouverts. Des topologies particulières peuvent être celle triviale dans laquelle T est formé par X et l'ensemble vide et celle discrète dans laquelle T coïncide avec l'ensemble des parties de X. Dans la première topologie, seuls l'ensemble vide et X sont des ensembles ouverts, tandis que dans le discret tous les ensembles sont des ensembles ouverts. Deux topologies sont comparables si l'une d'elles est un sous-ensemble de l'autre, tandis que si une topologie contient l'autre, la première est dite plus fine que la seconde. L'ensemble de toutes les topologies est partiellement ordonné : la topologie triviale est la moins fine, la discrète est la plus fine, et toutes les autres topologies possibles ont une finesse intermédiaire entre les deux.

Dans un espace topologique, un ensemble I contenant un point x appartenant à X est appelé voisinage (ouvert) de x s'il existe un ensemble ouvert A contenu dans I contenant x :

Un sous-ensemble d'un espace topologique est fermé si son complémentaire est ouvert. Les ensembles fermés ont trois propriétés :

1) L'union d'un nombre fini d'ensembles fermés est un ensemble fermé.

2) L'intersection d'ensembles fermés est un ensemble fermé.

3) L'ensemble X et l'ensemble vide sont fermés.

Avec ces propriétés, une topologie basée sur des ensembles fermés peut être construite. En général, un sous-ensemble peut être fermé, ouvert, à la fois ouvert et fermé, ni ouvert ni fermé.

Dit S un sous-ensemble d'un espace topologique X, x est un point de fermeture de S si chaque voisinage (ouvert ou fermé) de x contient au moins un point de S.

Dit S un sous-ensemble d'un espace topologique X, x est un point d'accumulation de S si tout voisinage (ouvert ou fermé) de x contient au moins un point de S différent de x lui-même.

Chaque point d'accumulation est un point de clôture tandis que l'inverse n'est pas valide. Les points de verrouillage qui ne sont pas des points d'accumulation sont appelés points isolés.

L'ensemble de tous les points de fermeture d'un ensemble donné est appelé fermeture et est noté cl(I). La fermeture dans un ensemble est un ensemble fermé et contient l'ensemble de départ, de plus c'est l'intersection de tous les ensembles fermés qui contiennent l'ensemble de départ et est le plus petit ensemble fermé contenant l'ensemble de départ. Ces définitions portent le nom de clôture topologique.

Un ensemble est donc fermé si et seulement s'il coïncide avec sa propre fermeture.

Enfin, la fermeture d'un sous-ensemble est un sous-ensemble de la fermeture de l'ensemble principal, et un ensemble fermé contient un autre ensemble si et seulement si cet ensemble contient la fermeture du second.

Il va de soi que la fermeture de l'ensemble vide est l'ensemble vide, celle de l'ensemble général X est l'ensemble général X et dans un espace discret chaque ensemble est égal à sa fermeture.

Dit S un sous-ensemble d'un espace topologique X, x est un point intérieur de S s'il existe un voisinage (ouvert ou fermé) de x contenu dans S.

L'ensemble de tous les points intérieurs d'un ensemble donné est appelé l'intérieur et est noté int(I). La partie interne est un sous-ensemble ouvert de l'ensemble de départ, c'est l'union de tous les ensembles ouverts contenus dans cet ensemble et c'est le plus grand ensemble ouvert contenu dans cet ensemble. Ces définitions sont appelées l'intérieur topologique.

Un ensemble est ouvert si et seulement il coïncide avec son intérieur, de plus l'intérieur satisfait la relation d'idempotence.

Enfin, l'intérieur d'un sous-ensemble est un sous-ensemble de l'intérieur de l'ensemble principal, et un ensemble ouvert contient un autre ensemble si et seulement si cet ensemble contient l'intérieur du second.

Il va de soi que l'intérieur de l'ensemble vide est l'ensemble vide, celui de l'ensemble général X est l'ensemble général X et dans un espace discret chaque ensemble est égal à son intérieur.

Un sous-ensemble fermé d'un espace topologique est dit rare s'il n'a pas d'intérieur. Un espace topologique est dit de première catégorie s'il est la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles fermés rares, inversement il est dit de deuxième catégorie.

La partie interne et la fermeture peuvent être associées à des opérateurs qui mettent ces deux notions en relation duale.

La différence établie entre la fermeture et l'intérieur s'appelle la frontière, un élément appartenant à la frontière s'appelle le point frontière. La frontière est aussi l'intersection entre la fermeture et son complémentaire et est définie comme l'ensemble des points tel que chaque voisinage contient au moins un point appartenant à l'ensemble et au moins un point n'appartenant pas à cet ensemble.

La frontière d'un ensemble est fermée. Un ensemble est fermé si et seulement si sa frontière est contenue dans l'ensemble alors qu'il est ouvert si et seulement si sa frontière en est disjointe.

La frontière d'un ensemble est égale à la frontière de son complément, et l'opération de fermeture est simplement l'union de l'ensemble avec sa frontière. La frontière d'un ensemble est vide si et seulement si l'ensemble est à la fois fermé et ouvert.

Un sous-ensemble d'un espace topologique est localement fermé s'il satisfait au moins une des conditions suivantes : il est ouvert dans sa fermeture ou il est ouvert dans tout espace fermé ou il est fermé dans tout espace ouvert ou si pour chaque point du sous-ensemble il existe un voisinage ouvert de ce point tel que l'intersection entre le voisinage et le sous-ensemble est fermée dans le voisinage.

Un espace topologique est dit compact s'il appartient à une famille quelconque de sous-ensembles ouverts de l'espace dont la couverture est donnée par :

on peut extraire un sous-ensemble fini J dans I tel que la même relation de recouvrement soit vérifiée. C'est ce qu'on appelle la compacité couvrante et qui peut également être définie par l'utilisation d'ensembles fermés.

Un espace topologique est dit compact par suites si toute suite de points de l'espace admet une sous-suite convergeant vers un point de l'espace.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass stipule que tout sous-ensemble infini d'un espace compact admet au moins un point d'accumulation.

Un sous-ensemble fermé d'un compact est un compact ; le produit des espaces compacts est un compact comme l'est le quotient.

L'ensemble vide et tout ensemble défini avec la topologie triviale sont compacts. Un intervalle fermé et borné dans l'ensemble des nombres réels est compact. Tout espace topologique fini est aussi compact, de même que la sphère fermée dans RxR et l'ensemble de Cantor (dont nous parlerons longuement dans le chapitre consacré à la géométrie fractale, presque à la fin du livre). Les ensembles infinis à topologie discrète ne sont pas compacts.

Un espace est dit localement compact qui admet pour chaque point une base de voisinages constituée d'ensembles compacts.

Un espace topologique non vide est dit connexe si le seul couple de sous-ensembles disjoints dont l'union est l'espace lui-même est donné par le couple entre l'espace et l'ensemble vide. De manière équivalente, nous pouvons affirmer qu'un espace topologique est connexe si et seulement si les seuls sous-ensembles à la fois ouverts et fermés sont l'ensemble vide et l'espace lui-même.

Un composant connexe d'un espace est appelé un sous-ensemble connexe qui n'est contenu dans aucun autre sous-ensemble connexe. Un espace dont les composantes connexes sont ses points est dit totalement déconnecté. L'ensemble de Cantor et un ensemble à topologie discrète sont totalement déconnectés.

L'union des droites dans le plan est un espace connexe si au moins deux droites ne sont pas parallèles, tandis que dans l'ensemble des nombres réels un sous-ensemble est connexe si et seulement s'il s'agit d'un intervalle dans lequel chaque extrême peut être infini. De plus, le produit d'espaces connectés est un espace connecté.

Un espace topologique est dit connecté par des arcs, ou par des chemins, si pour chaque paire de points de l'espace il existe une fonction continue (pour la définition de la continuité, voir le chapitre suivant) qui les relie d'égale valeur aux extrémités du chemin. Tout espace relié par des chemins est relié, mais pas l'inverse.

Un espace est localement connecté s'il possède un système de quartiers connectés. Un espace topologique connexe au chemin est simplement connexe si le chemin est contractile à volonté jusqu'à la transformation (appelée homotopie) dans le chemin constant.

Nous définissons la fonction continue entre espaces topologiques comme une fonction pour laquelle la contre-image de tout ensemble ouvert est ouverte.

Nous définissons l'espace de Hausdorff comme un espace topologique qui satisfait les axiomes suivants :

1) Au moins un voisinage du point contenant le point lui-même correspond à chaque point de l'espace.

2) Étant donné deux voisinages d'un même point, l'intersection de ces deux voisinages est un voisinage.

3) Si un voisinage d'un point est un sous-ensemble d'un ensemble, alors cet ensemble est aussi un voisinage du point.

4) Pour chaque voisinage d'un point, il existe un autre voisinage de ce point tel que le premier voisinage soit le voisinage de tout point appartenant au deuxième voisinage.

5) Étant donné deux points distincts, il y a deux voisinages disjoints.

En particulier, le dernier axiome est appelé axiome de séparabilité de Hausdorff des espaces topologiques. Les axiomes de séparabilité des espaces topologiques peuvent être généralisés selon une catégorie de raffinements successifs :

1) Espaces : pour chaque paire de points il y a un espace ouvert qui contient un point et pas l'autre.

2) Espaces : pour chaque paire de points il y a deux espaces vides tels que tous deux contiennent l'un des deux points mais pas l'autre.

3) Espaces : pour chaque paire de points il y a deux disjoints ouverts qui les contiennent respectivement. Ce sont des espaces Hausdorff.

4) Espaces réguliers : pour chaque point et pour chaque disjoint fermé il existe deux disjoints ouverts qui les contiennent respectivement.

5) Espaces : s'ils sont et réguliers.

6) Espaces complètement réguliers : pour tout point disjoint et pour tout ensemble fermé il existe une fonction continue à valeurs réelles qui vaut 0 dans l'ensemble fermé et 1 dans le point.

7) Espaces : s'ils sont et parfaitement réguliers.

8) Espaces normaux : pour chaque paire de disjoints fermés il y a deux disjoints ouverts qui les contiennent respectivement.

9) Espaces : s'ils sont et normaux.

Les sous-ensembles ouverts ou fermés d'un espace de Hausdorff localement compact sont localement compacts. Tout espace Hausdorff compact est de second ordre.

Rappelons que dans les espaces topologiques des notions de mathématiques élémentaires telles que les notions de dénombrabilité ou de cardinalité peuvent être étendues, définissant ainsi des ensembles dénombrables et des ensembles continus.

Un sous-ensemble est dense dans un espace topologique si chaque élément du sous-ensemble appartient à l'ensemble ou est un point d'accumulation. Des définitions équivalentes sont les suivantes : un sous-ensemble est dense si sa fermeture est l'espace topologique ou si tout sous-ensemble ouvert non vide intersecte le sous-ensemble ou si le complément du sous-ensemble a un intérieur vide ou si chaque point de l'espace est la limite de une séquence contenue dans le sous-ensemble.

Tout espace topologique est dense en lui-même ; les nombres rationnels et irrationnels sont denses dans l'ensemble des nombres réels. Un espace est séparable si son sous-ensemble dense est dénombrable. Un ensemble n'est jamais dense s'il n'est dense dans aucun ensemble ouvert.

Un espace topologique est uniforme s'il possède une famille de sous-ensembles satisfaisant les propriétés suivantes :

1) Chaque famille de sous-ensembles contient la diagonale du produit cartésien X x X.

2) Toute famille de sous-ensembles est fermée par inclusion.

3) Chaque famille de sous-ensembles est fermée sous l'intersection.

4) Si un voisinage appartient à la topologie alors il existe une famille de sous-ensembles appartenant à la topologie telle que, si deux paires de points ayant un point commun appartiennent à la famille des sous-ensembles, alors les deux points disjoints appartiennent au voisinage.

5) Si un voisinage appartient à la topologie alors aussi l'inversion du voisinage dans le produit cartésien appartient à la topologie.

Un espace métrique est un espace topologique engendré par une topologie d'une base de voisinages circulaires. Dans les espaces métriques, une métrique est définie qui associe un nombre réel non négatif à deux points de l'espace pour lesquels les propriétés suivantes sont valables :

Une fonction est dite continue en un point d'un espace métrique si, pour tout choix de quantités arbitraires positives, la distance entre ce point et un autre point est bornée. Considérant les voisinages sphériques et le domaine de la fonction, nous avons :

Un espace métrique est toujours uniforme. Dans un espace métrique, la distance entre un point et un ensemble est également valable, définie comme suit :

Cette distance est nulle si et seulement si x appartient à la fermeture de I. La distance entre deux points de deux ensembles peut être définie de la même manière. Au lieu de cela, il dicte l'excès d'un ensemble sur l'autre :

La distance de Hausdorff est la suivante :

Un espace métrique est borné si sa fermeture est bornée. Dans un espace métrique, x est un point de fermeture si pour tout rayon positif il existe un point dans l'espace tel que la distance entre x et ce point soit inférieure au rayon. Dans un espace métrique, x est un point intérieur s'il existe un rayon positif tel que la distance entre x et un point générique appartenant à l'espace soit inférieure au rayon.

Un espace métrique est complet si chaque suite de Cauchy converge vers un élément de l'espace. Un espace métrique est compact si et seulement s'il