Analyse Mathématique pour l'ingénieur: Analyse Mathématique pour l'ingénieur, #2

Par bekkai Messirdi

Des équations aux dérivées partielles à l'examen des algorithme aléatoires en touriste par la transformation de Fourier, cet tout réelle globaux les outils mathématiques utiles à l'étudiant ingénieur. Des conseils et des explication précisent le champ d'manipulation d'une formule.

• Langue: Français
• Éditeur: bekkai Messirdi
• Date de sortie: 13 août 2022
• ISBN: 9798201617073

Aperçu du livre

Semestre pair

Analyse Mathématique pour l'Ingénieur

Cours et Exercices Corrigés

Sujets du DS2 et ES2 avec corrigés et barèmes détaillés

-  Séries de Fourier

-  Transformation de Fourier

-  Equations aux Dérivées Partielles (EDP)

––––––––

Professeur Bekkai MKSSFRDF

Semestre pair

Analyse Mathématique pour l'Ingénieur

Cours et Exercices Corrigés

Editions Al-Djazair

Table  des  mati`eres

I Semestre pair 5

1  S´eries  de  Fourier  7

1.1  S´eries trigonom´etriques .............................................7

1.1.1  Fonctions p´eriodiques et s´eries trigonom´etriques ..............7

1.1.2  Convergence des s´eries trigonom´etriques ...................8

1.1.3  Repr´esentation complexe d’une s´erie trigonom´etrique ..........9

1.1.4  Calcul des coefficients de la s´erie trigonom´etrique .............10

1.2  S´eries de Fourier ....................................................11

1.2.1  Coefficients de Fourier d’une fonction paire ou impaire...........12

1.2.2  Convergence des s´eries de Fourier, et Th´eor`eme de Dirichlet ...14

1.3  D´eveloppement en s´erie de Fourier de fonctions non p´eriodiques ........18

1.4  Formule de Parseval.................................................21

1.5  Applications........................................................24

1.5.1  Solutions p´eriodiques d’´equations diff´erentielles ..............24

1.5.2  Probl`eme de Strum-Liouville ..............................26

1.6  Exercices  Corrig´es  sur  les  s´eries  de  Fourier .....................29

2  Transformation de Fourier 47

2.1  D´efinitions et premi`eres propri´et´es ...................................47

2.1.1  D´efinitions ...........................................47

2.1.2  Propri´et´es ...........................................49

2.2  Formules utiles......................................................50

2.2.1  Transform´ee de Fourier de la d´eriv´ee ......................50

2.2.2  D´erivation de la transform´ee de Fourier F [f ] (ξ) par rapport `a ξ ...51

2.2.3  Transformation de Fourier sinus et cosinus...................51

2.2.4  Produit de convolution et transformation de Fourier.............52

2.3  Transform´ee de Fourier inverse .......................................56

2.3.1  Quelques propri´et´es utiles ...............................58

2.4  Applications........................................................58

2.4.1  Calcul des int´egrales ...................................58

2.4.2  R´esolution d’une ´equation int´egrale .......................58

2.4.3  R´esolution d’une ´equation diff´erentielle .....................59

2.4.4  R´esolution de probl`emes aux limites .......................60

2.5  Exercices  Corrig´es  sur  les  s´eries  de  Fourier .....................61

3

4 TABLE DES MATIE`RES

3  Equations  aux  D´eriv´ees  Partielles  (EDP)  75

3.1  G´en´eralit´es sur les EDP ............................................76

3.2  Int´egration  des  EDP  lin´eaires  d’ordre  1  homog`enes  a`  deux  et  a`  trois  va- riables ind´ependantes   77

3.2.1  Int´egration de l’EDP (E2) ................................77

3.2.2  Int´egration de l’EDP (E3) ................................78

3.3  Int´egration  des  EDP  quasi-lin´eaires  d’ordre  1  non  homog`enes  `a  deux  va- riables ind´ependantes   78

3.4  Classification des EDP du second ordre a` deux variables ind´ependantes ..80

3.5  R´esolution de certaines EDP classiques ...............................87

3.5.1  Equation des ondes (cas hyperbolique)......................88

3.5.2  Equation de Laplace (cas elliptique).........................92

3.5.3  Equation de la chaleur (cas parabolique).....................98

3.6  Exercices  Corrig´es  sur  les  EDP .................................102

4  Annexe 119

4.1  Sujets  du  DS2  et  ES2  avec  corrig´es  et  bar`emes  d´etaill´es .....119

Bibliographie 132

Premi`ere  partie Semestre pair

5

Chapitre 1 S´eries  de  Fourier

Une  fonction  p´eriodique  f (x)  de  p´eriode  T,  peut,  sous  certaines  conditions,  ˆetre  ap- proch´ee avec autant de pr´ecision qu’on le d´esire par une somme de sinus et de cosinus, de p´eriode T  :

+∞ +∞

f (x) = Σ an cos nωx + bn sin nωx = a0 + Σ an cos nωx + bn sin nωx

n=0

2π

n=1

an, bn ∈ R,   ∈ N, ω =

est appel´ee la pulsation.

T

Cette d´ecomposition est appel´ee une s´erie de Fourier. On ´etudie dans ce chapitre les s´eries de Fourier et le d´eveloppement des fonctions p´eriodiques en s´erie de Fourier.

Les  s´eries  de  Fourier  constituent  un  outil  fondamental  de  l’analyse  math´ematique, elles  sont  indispensables  et  incontournables  pour  l’´etude  des  ph´enom`enes  oscillatoires (mouvement d’un camion sur un pont g´en`ere des vibrations dans toute la structure de ce dernier ; le mouvement des pistons dans le moteur met la voiture en vibration ; une onde

´electromagn´etique  provoque  l’oscillation  des  ´electrons  `a  la  surface  du  m´etal,...).  On  ne peut  pas  s´erieusement ´etudier  un  sujet  de  physique  sans  utiliser  d’une  mani`ere  ou  d’une autre ces s´eries ou leur g´en´eralisation, les transform´ees de Fourier.

1.1  S´eries  trigonom´etriques

1.1.1  Fonctions  p´eriodiques  et  s´eries  trigonom´etriques

D´efinition  1.1  Une  fonction  f  d´efinie  sur  un  ensemble  D R  est  dite  p´eriodique  de p´eriode T  R∗  ou (T-p´eriodique) si pour tout x  D, on a x + T    D et f (x + T ) = f (x).

Si l’ensemble des p´eriodes strictement positives de f  a un plus petit ´el´ement strictement positif,  soit  T0  cet ´el´ement,  T0  est  appel´e  la  p´eriode  fondamentale  de  f.

En  g´en´eral,  si  f  est  T-p´eriodique,  alors  f  est  d´efinie  sur  R.

Exemple  1.1  1)  Les  fonctions  f (x)  =  sin x  et  g(x)  =  cos x  d´efinies  sur  R  sont  2π- p´eriodiques  car  sin(x + 2π) = sin x  et  cos(x + 2π) = cos x,   x   R.

2) Si ω > 0, sin ωx et cos ωx sont des fonction  ²π -p´eriodiques sur R car sin ω(x+ ²π ) =

ω ω

sin(ωx + 2π) = sin ωx et cos ω(x + ²π ) = cos(ωx + 2π) = cos ωx.

2)  Une  fonction  constante  sur  R est  p´eriodique,  tout  r´eel  non  nul  en  est  une  p´eriode.

3)  La fonction f (x) = x E(x), E(x) est la partie enti`ere sur R, est p´eriodique, 1 est une  p´eriode  de  f  ainsi  que  tout  entier  non  nul.

7

En effet, soit x ∈ R, alors E(x) = n si n ≤ x < n + 1. Donc n + 1 ≤ x + 1 < n + 2 et

E(x + 1) = n + 1 = E(x) + 1. On a donc f (x + 1) = x + 1 − E(x + 1) = x − E(x) = f (x),

∀x ∈ R.

Une  fonction  T -p´eriodique  est  enti`erement  d´efinie  par  sa  restriction  sur  un  intervalle de longueur T, par exemple [0, T [, [− T , T [, [a, a + T [, ...

D´efinition  1.2  On  appelle  s´erie  trigonom´etrique  toute  s´erie  de  fonctions  de  la  forme  :

+∞

+ an

2

n=1

––––––––

cos nωx + bn

––––––––

sin nωx

avec x R, ω  > 0, an, bn R pour tout n N. Les nombres an, bn, n N, sont appel´es  coefficients  de  cette  s´erie.

La  suite  des  sommes  partielles  associ´ee  `a  la  s´erie  trigonom´etrique  est  :

n

S (x)  = ⁰ + a

n 2 k

k=1

––––––––

cos kωx + bk

––––––––

sin kωx

= a0 + a

2 1

cos ωx + b1

sin ωx + a2

cos 2ωx + b2

sin 2ωx

––––––––

Exemple  1.2  La  s´erie

+... + an cos nωx + bn sin nωx.

+∞ 1

n est  une  s´erie  trigonom´etrique  avec  a0  =  0,  an  =   n

n=1

bn = 0, ∀n ∈ N∗, et ω = 1.

Remarque 1.1  Chaque fonction Sn(x) de la suite des sommes partielles (Sn(x))n   N  est

T-p´eriodique  avec  T  =  ²π .  Donc  si  la  s´erie  trigonom´etrique  converge  simplement,  alors

sa somme S(x) =  lim

––––––––

Sn(x) =

a0 +

+Σ∞

an cos nωx + bn sin nωx est p´eriodique de p´eriode

n→+∞

2

n=1

T = 2π

sur son domaine de convergence.

Ainsi,  si  un  s´erie  trigonom´etrique  de  p´eriode  T   converge  en  x  alors  elle  converge

simplement en x + kT, ∀k ∈ Z.

Le  probl`eme  est  de  d´eterminer  l’ensemble  D  tel  que  la  s´erie  trigonom´etrique  soit convergente pour tout x ∈ D.

1.1.2  Convergence  des  s´eries  trigonom´etriques

Proposition  1.1  Si les s´eries num´eriques

+∞

n=1

an et

+∞

n=1

bn sont absolument convergentes,

alors la s´erie trigonom´etrique

a0 +

+Σ∞

an cos nωx+bn sin nωx est normalement convergente

2

n=1

sur R, donc absolument et uniform´ement sur R. De plus, sa somme f (x) est continue sur

R, on pourra aussi int´egrer la s´erie terme `a terme dans tout intervalle de longueur T  =  ²π .

1.1.   SE´RIES TRIGONOME´TRIQUES  9

Preuve: On a :

|an cos nωx + bn sin nωx| ≤ |an| + |bn| , ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.

Or les s´eries

+Σ∞

an et

+Σ∞

bn sont absolument convergentes, donc

a0 +

+Σ∞

an cos nωx +

n=1

n=1

2

n=1

bn sin nωx converge normalement et alors absolument et uniform´ement sur R.

D’autre part, puisque chaque fonction Un(x) = an cos nωx+bn sin nωx est continue sur

R et que la s´erie

+∞

n=1

Un(x) converge uniform´ement sur R

alors la somme f (x) =

+∞

n=1

Un(x)

est aussi continue sur R.

Proposition  1.2  Si  (an)n∈N  et  (bn)n∈N  sont  des  suites  d´ecroissantes,  de  nombres  r´eels,

convergeant  vers  0,  alors  la  s´erie  trigonom´etrique

––––––––

a0 +

+Σ∞

an cos nωx + bn sin nωx  est

2kπ

2

} n=1

simplement convergente sur R\

ω   : k ∈ Z .

inωx

inωx

+Σ∞

+∞

et

n=1

an sin nωx  convergent si et  seulement si

+∞

n=1

aneinωx

converge,  idem  pour  la  s´erie

+∞

n=1

bneinωx.

On  applique  alors  la  r`egle  d’Abel  pour  ´etudier  la  convergence  des  s´eries  a`  termes

quelconques

+∞

n=1

aneinωx

+∞

et

n=1

bneinωx.

Pour  les  deux  s´eries  complexes  les  suites  (an)n∈N  et  (bn)n∈N  sont  d´ecroissantes  et

tendent  vers  0,  il  suffit  alors  de  majorer  ind´ependamment  de  n  la  suite  des  sommes

partielles

n

k=0

eikωx

. On a :

.Σn

. .Σn

k.

. 1 − ei(n+1)ωx .   2

eikωx   = eiωx

ou`  eiωx

1 car x /= ²kπ , k ∈ Z.

+Σ∞  1  1

Exemple  1.3  La  s´erie  trigonom´etrique  1 +

sur R\ {2kπ : k ∈ Z} .

––––––––

n=1

n cos nx + n2  sin nx converge simplement

1.1.3  Repr´esentation  complexe  d’une  s´erie  trigonom´etrique

D’apr`es les relations d’Euler cos nωx =  einωx+e−inωx   et sin nωx =  einωx−e−inωx , on a :

an cos nωx + bn sin nωx  =   an

einωx + e−inωx

––––––––

+ bn

einωx − e−inωx

2i

=    an − ibn    einωx +    an + ibn     e−inωx.

En posant c0 = a0

et pour tout n ≥ 1,

c = an   −   ibn n   2

et c−n

= cn

= an + ibn

2

alors :

an =   cn + c−n et bn = i (cn − c−n) .

an cos nωx + bn sin nωx = cneinωx + c−ne−inωx, ∀n ∈ N,  n ≥ 1,

et c0

= a0 ,

2

+∞ +∞

a0  + a

2 n

n=1

+∞

cos nωx + bn

sin nωx = c0

+ cn

n=1

einωx + c−n

e−inωx

=

n=−∞

cneinωx.

Cette expression est appel´ee la forme complexe de la s´erie trigonom´etrique.

1.1.4  Calcul  des  coefficients  de  la  s´erie  trigonom´etrique

Soit

+Σ∞

+∞

n=−∞ inωx

––––––––

cneinωx

une s´erie qui converge uniform´ement sur R, alors sa somme f (x) =

pact).  On  calcul  les  coefficients  cn  de  la  s´erie  trigonom´etrique  en  fonction  de  sa  somme

f (x) de la mani`ere suivante, ∀p ∈ Z :

––––––––

+Σ∞

f (x)e−ipωx  = e−ipωx

––––––––

i(n−p)ωx

+∞

n=−∞

––––––––

cneinωx =

+∞

n=−∞

cnei(n−p)ωx.

sur [0, T ], T = ²π , et on a :

T

f (x)e−ipωxdx =

∫T    Σ+∞

cnei(n−p)ωx!

dx =

––––––––

+∞ T

cn

––––––––

ei(n−p)ωxdx.

0

Pour n /= p,

0 n=−∞

n=−∞ 0

Si n   /=   p,

Si n   =  p,

T

ei(n−p)ωxdx =

0

T

dx = T.

ei(n−p)ωx i (n − p) ω

T

= 0,

0

0

On a alors, ∀p ∈ Z,

T

f (x)e−ipωxdx = cpT et cp =

0

––––––––

T

1 f (x)e−ipωxdx. T

0

Donc ∀n ∈ N∗,

––––––––

cn =

––––––––

T

f (x)e−inωxdx et c−n =

0

––––––––

T

1  f (x)einωxdx. T

0

On en d´eduit alors les coefficients an  et bn  par les expressions suivantes :

an = et alors :

T

1

f (x)

T

0

––––––––

einωx + e−inωx

i dx et bn = T

T

f (x)

0

e−inωx − einωx   dx

2 T

an = T

0

2 T

f (x) cos nωxdx et bn = T

0

f (x) sin nωxdx, ∀n ∈ N.

Ces expressions sont valables aussi pour n = 0. On vient alors de d´emontrer le r´esultat suivant.

Proposition  1.3  Soit la s´erie trigonom´etrique sous sa forme r´eelle

a0 +

+Σ∞

an cos nωx +

+Σ∞

––––––––

inωx

2

n=1

converge  uniform´ement  sur  R vers  sa  somme  f (x),  alors  on  a  :

∀n ∈ Z, cn = T

0

f (x)e−inωxdx.

  2  ∫T

  2  ∫T ∗

 bn = T

1.2  S´eries  de  Fourier

f (x) sin nωxdx, ∀n ∈ N .

D´efinition  1.3  Soit  f  :  R  −→ C  une  fonction  T-p´eriodique  (T  >  0)  et  int´egrable  sur

∫

Fourier  de  f,  la  s´erie  trigonom´etrique

a0 +

+Σ∞

an cos nωx + bn sin nωx, T  = ²π

ou`  :

2

2  ∫T

ω

n=1

T

bn = T

0

f (x) sin nωxdx, ∀n ∈ N∗.

La  s´erie  de  Fourier  de  f  peut  s’´ecrire  aussi

1 ∫T

+∞

n=−∞

––––––––

cneinωx

––––––––

avec :

∀n ∈ Z, cn = T

0

f (x)e−inωxdx.

an  et  bn  sont  appel´es  respectivement  les  coefficients  cosinus  et  sinus  de  Fourier  de  f. cn sont les coefficients de