Le Livre de Mathématique: Volume 1

Par Simone Malacrida

La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.
Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.
L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.
L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.
L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

• Langue: Français
• Éditeur: Simone Malacrida
• Date de sortie: 23 janv. 2023
• ISBN: 9798201391706

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Aperçu du livre

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SIMONE MALACRIDA

La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.

Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.

L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.

L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.

L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

Simone Malacrida (1977)

Ingénieur et écrivain, a travaillé sur la recherche, la finance, la politique énergétique et les installations industrielles.

INDEX ANALYTIQUE

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INTRODUCTION

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PREMIÈRE PARTIE : MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

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1 – LOGIQUE MATHÉMATIQUE ÉLÉMENTAIRE

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2 – OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES ÉLÉMENTAIRES

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3 – THÉORIE DES ENSEMBLES

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4 – CALCUL LITTERAL

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5 – GEOMETRIE PLANE EUCLIDEENNE

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6 – GEOMETRIE SOLIDE EUCLIDEENNE

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7 – ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

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8 – GEOMETRIE ANALYTIQUE ELEMENTAIRE

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9 – FONCTIONS GONIOMETRIQUES ET TRIGONOMETRIE

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10 – FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMIQUES ET HYPERBOLIQUES

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11 – THÉORIE DES FONCTIONS

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12 – NOMBRES COMPLEXES

DEUXIÈME PARTIE : ANALYSE MATHÉMATIQUE, ANALYSE FONCTIONNELLE ET GÉOMÉTRIE AVANCÉE

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13 – TOPOLOGIE GENERALE

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14 - LIMITES _ _

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15 – FONCTIONS CONTINUES

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16 – CALCUL DIFFÉRENTIEL

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17- CALCUL INTÉGRAL

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18 – ETUDE DES FONCTIONS VARIABLES REELLES

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19 – SUCCESSION ET SÉRIE NUMÉRIQUE

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20 – SUCCESSION ET SÉRIE DE FONCTIONS

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21 – SÉRIES POWER, TAYLOR ET FOURIE R

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22 – V ECTEURS ET MATHÉMATIQUES VECTORIELLES

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23 – MATRICES ET MATRICES MATHÉMATIQUES

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24 – GEOMETRIE ANALYTIQUE AVANCEE

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25 – GEOMETRIE NON EUCLIDEENNE

INTRODUCTION

Dans la société actuelle, les mathématiques sont à la base de la plupart des disciplines scientifiques et techniques telles que la physique, la chimie, l'ingénierie de tous secteurs, l'astronomie, l'économie, la médecine, l'architecture.

En outre, les modèles mathématiques régissent la vie quotidienne, par exemple dans le secteur des transports, dans la gestion et la distribution de l'énergie, dans les communications téléphoniques et télévisuelles, dans les prévisions météorologiques, dans la planification de la production agricole et dans la gestion des déchets, dans la définition des flux monétaires, dans la codification des plans industriels, etc., puisque les applications pratiques sont presque infinies.

Les mathématiques sont donc l'un des fondements fondamentaux de la formation d'une culture contemporaine de chaque individu et il ressort à la fois des programmes scolaires qui introduisent, dès les premières années, l'enseignement des mathématiques et de la relation étroite entre l'apprentissage profitable des les mathématiques et le développement social et économique d'une société.

Cette tendance n'est pas nouvelle, car elle est une conséquence directe de cette révolution qui eut lieu au début du XVIIe siècle qui introduisit la méthode scientifique comme principal outil de description de la Nature et dont le point de départ fut précisément donné par la considération que les mathématiques pouvaient être la clé de voûte pour comprendre ce qui nous entoure.

La grande « force » des mathématiques réside dans au moins trois points distincts.

Tout d'abord, grâce à elle, il est possible de décrire la réalité en termes scientifiques, c'est-à-dire en prévoyant certains résultats avant même d'avoir l'expérience réelle.

Prédire les résultats, c'est aussi prévoir les incertitudes, les erreurs et les statistiques qui surgissent nécessairement lorsque l'idéal de la théorie est amené à la pratique la plus extrême.

Deuxièmement, les mathématiques sont un langage qui a des propriétés uniques.

C'est artificiel, comme construit par des êtres humains.

Il existe d'autres langues artificielles, comme l'alphabet Morse ; mais la grande différence des mathématiques est qu'elles sont un langage artificiel qui décrit la Nature et ses propriétés physiques, chimiques et biologiques.

Cela le rend supérieur à tout autre langage possible, car nous parlons le même langage que l'Univers et ses lois. À ce stade, chacun de nous peut apporter ses propres idéologies ou croyances, qu'elles soient laïques ou religieuses.

De nombreux penseurs ont souligné à quel point Dieu est un grand mathématicien et à quel point les mathématiques sont le langage privilégié pour communiquer avec cette entité supérieure.

La dernière propriété des mathématiques est qu'elles sont un langage universel. En termes mathématiques, la tour de Babel ne pourrait pas exister.

Tout être humain qui a quelques rudiments de mathématiques sait très bien ce que signifient certains symboles spécifiques, tandis que des traducteurs et des dictionnaires sont nécessaires pour se comprendre avec des mots écrits ou des discours oraux.

Nous savons très bien que le langage est la base de toute connaissance.

L'être humain apprend, dans les premières années de la vie, une série d'informations de base pour le développement de l'intelligence, précisément à travers le langage.

Le cerveau humain se distingue précisément par cette particularité spécifique d'articuler une série de langages complexes et cela nous a donné tous les avantages bien connus sur toute autre espèce du règne animal.

Le langage est aussi l'un des présupposés du savoir philosophique, spéculatif et scientifique et Gadamer l'a mis en évidence, sans équivoque et définitivement.

Mais il y a une troisième propriété des mathématiques qui est beaucoup plus importante.

En plus d'être un langage artificiel et universel qui décrit la Nature, les mathématiques sont proprement la résolution de problèmes , donc c'est du concret fait de la science, car l'homme a toujours visé à résoudre les problèmes qui l'affligent.

Pour lever les derniers doutes en la matière, il convient de rapporter quelques exemples concrets faisant référence à il y a des millénaires.

La découverte des nombres irrationnels faite par Pythagore, surtout pi et la racine carrée, n'était pas une simple spéculation théorique.

A la base de ce symbolisme mathématique, il y avait la résolution de deux problèmes très concrets.

D'une part, puisque les maisons avaient un plan carré, la diagonale interne devait être calculée exactement afin de minimiser le gaspillage de matière dans la construction des murs, d'autre part, pi était le lien mathématique entre les distances droites et curvilignes, comme le rayon d'une roue et sa circonférence.

Face aux problèmes concrets, l'intellect humain a inventé ce langage mathématique dont la propriété est précisément celle de résoudre les problèmes en décrivant la Nature.

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La première partie de ce livre a pour but exprès de fournir les rudiments des mathématiques élémentaires, c'est-à-dire de toute cette partie des mathématiques antérieure à l'introduction de l'analyse mathématique.

Les notions et concepts exposés dans cette partie étaient, en partie, déjà connus dans l'Antiquité (au temps des Grecs par exemple), notamment en ce qui concerne la partie de la logique élémentaire, ainsi que les opérations élémentaires et les relations géométriques.

Les chapitres restants de la première partie décrivent les connaissances acquises par l'humanité au cours des siècles, en particulier après la grande explosion de la pensée qui s'est produite à la Renaissance, jusqu'à la fin du XVIIe siècle.

Cette limite est considérée comme une démarcation entre les mathématiques élémentaires et avancées, précisément parce que l'analyse mathématique, introduite à la fin du XVIIe siècle par Newton et Leibnitz, a permis le saut qualitatif vers de nouveaux horizons et vers la description réelle de la Nature en termes mathématiques.

C'est précisément pour cette raison, bien que chaque paragraphe constitue un sujet complet en soi, l'exposition des sujets suit un ordre logique, permettant la progression continue des connaissances en fonction de ce qui a été appris précédemment.

La première partie du livre coïncide plus ou moins avec ce qui était enseigné jusqu'à la fin du lycée (uniquement pour les lycées scientifiques, avec la fin de la quatrième année et non de la cinquième).

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La deuxième partie du livre donne tous les fondements des mathématiques avancées, englobant en elle à la fois la grande discipline de l'analyse mathématique et tous les domaines disparates qui ont surgi au cours des deux derniers siècles, y compris, pour n'en citer que quelques-uns, l'analyse différentielle. et géométrie fractale, géométries non euclidiennes, topologie algébrique et analyse fonctionnelle.

La quasi-totalité de ces notions ont été développées après l'introduction du formalisme de l'analyse mathématique à la fin du XVIIe siècle et, depuis, le chemin des mathématiques s'est toujours poursuivi en parallèle entre ce secteur et toutes les autres sous-disciplines possibles qui peu à peu côte à côte et ont emprunté des chemins indépendants.

Il reste à comprendre pourquoi l'analyse mathématique a introduit cette ligne de partage entre les mathématiques élémentaires et avancées.

Deux domaines se complètent dans ce discours.

D'une part, ce n'est qu'avec l'introduction de l'analyse mathématique qu'il a été possible de décrire, avec un formalisme adapté, les équations qui régissent les phénomènes naturels, qu'ils soient physiques, chimiques ou d'autre extraction, par exemple sociale ou économique.

En d'autres termes, l'analyse mathématique est l'outil principal pour construire ces mécanismes qui nous permettent de prédire les résultats, de concevoir des technologies et de réfléchir aux nouvelles améliorations à introduire.

D'autre part, l'analyse mathématique possède, dans sa nature même, une particularité spécifique qui la distingue nettement des mathématiques élémentaires antérieures.

Il prévoit des considérations locales, non exclusivement ponctuelles.

Le simple passage de la ponctualité à la localité permettra de construire un discours de la globalité, allant bien au-delà du connaissable antérieur.

Cette partie présente des notions habituellement abordées au niveau universitaire dans divers cours d'analyse et de géométrie.

Dans la troisième partie du livre, des sujets d'intérêt général pouvant être séparés de l'analyse mathématique seront exposés, tels que l'algèbre avancée, les statistiques et la logique avancée.

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Chaque chapitre du livre peut être considéré comme un domaine complet des mathématiques en soi, mais ce n'est qu'en analysant tous les sujets qu'il sera possible de toucher l'immensité des mathématiques et c'est pour cette raison que l'ordre des chapitres reflète une évolution continue. succession de connaissances pour progresser.

En fait, les mathématiques ont une étendue presque illimitée de secteurs et d'applications.

Il n'y a pas de science qui puisse se passer de concepts mathématiques et il n'y a pas d'application qui n'ait emprunté des notions mathématiques et les ait fait évoluer avec des langages particuliers.

C'est ainsi que sont nées de nombreuses disciplines et de nombreuses théories non présentées dans ce livre, pour ne citer que quelques exemples on peut citer la théorie des jeux et les mathématiques financières dans le domaine économique, les applications de la théorie des groupes et de l'algèbre avancée pour la physique théorique et les particules élémentaires, la évolution du calcul tensoriel pour des problèmes de cosmologie et d'astrophysique.

Pour cette raison, ce livre, bien que très vaste, n'est certainement pas complet et exhaustif.

Il y a plus de 1 000 exercices effectués, mais le nombre de problèmes et d'exercices possibles est presque illimité.

De plus, dans tout le livre, il n'y a pas de preuves de théorèmes qui auraient alourdi davantage l'encombrement et la compréhension.

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L'évolution des mathématiques appliquées aux disciplines et technologies individuelles a conduit à des ramifications extrêmes et à une évolution continue qui se poursuit encore aujourd'hui.

Cela a une conséquence importante : les mathématiques sont une science vivante, contemporaine et future et ne sont pas reléguées à un rôle historique.

Ce qui a été dit ne s'applique pas seulement aux innombrables applications, mais aussi aux mathématiques « pures », c'est-à-dire aux problèmes mathématiques présentés dans ce manuel.

En faisant un historicisme des notions et des résultats exprimés, on a pu voir clairement comment certaines hypothèses et certaines démonstrations sont très récentes (un exemple surtout est la démonstration de la conjecture de Poincaré) c'est-à-dire qu'elles ont eu lieu au XXIe siècle.

Ce n'est pas un hasard s'il existe des prix pour résoudre des problèmes encore ouverts et qui sont à la fois historiques, comme les fameuses questions de Hilbert du début du XXe siècle, et très modernes en ce qui concerne le calcul informatique, la logique, la complexité et la théorie du chaos, ainsi que sous forme de concepts géométriques et algébriques.

Étant une science vivante, tout comme un langage universel, les mathématiques s'enrichissent continuellement de nouveaux mots et de nouvelles constructions et c'est pourquoi ce qui est présenté dans ce livre n'est qu'un tremplin vers des connaissances encore plus avancées et spécifiques.

Relever le défi d'écrire un nouveau chapitre ou un seul chapitre dans cette histoire passionnante du seul langage artificiel universel qui décrit la Nature fait partie de l'évolution de notre espèce et c'est pourquoi chacun de nous est appelé à y participer.

PREMIÈRE PARTIE : MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

1

LOGIQUE MATHÉMATIQUE ÉLÉMENTAIRE

Introduction

La logique mathématique traite du codage, en termes mathématiques, de concepts intuitifs liés au raisonnement humain.

C'est le point de départ de tout processus d'apprentissage mathématique et, par conséquent, il est tout à fait logique d'exposer les règles élémentaires de cette logique au début de tout le discours.

On définit un axiome comme un énoncé supposé vrai parce qu'il est considéré comme allant de soi ou parce qu'il est le point de départ d'une théorie.

Les axiomes logiques sont satisfaits par toute structure logique et se divisent en tautologies (énoncés vrais par définition dépourvus de valeur informative nouvelle) ou axiomes considérés comme vrais malgré tout, incapables de démontrer leur validité universelle.

Les axiomes non logiques ne sont jamais des tautologies et sont appelés postulats.

Les axiomes et les postulats sont indémontrables.

Généralement, les axiomes qui fondent et démarrent une théorie sont appelés principes.

Un théorème, d'autre part, est une proposition qui, à partir de conditions initiales (appelées hypothèses) aboutit à des conclusions (appelées thèses) par une procédure logique appelée démonstration.

Les théorèmes sont donc démontrables par définition.

D'autres déclarations prouvables sont les lemmes qui précèdent et donnent généralement la base d'un théorème et les corollaires qui, à la place, sont conséquents à la démonstration d'un théorème donné.

Une conjecture, en revanche, est une proposition que l'on croit vraie grâce à des considérations générales, à l'intuition et au bon sens, mais qui n'est pas encore démontrée sous la forme d'un théorème.

Symbologie

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La logique mathématique fait intervenir des symboles qui reviendront ensuite dans tous les champs particuliers des mathématiques. Ces symboles sont variés et appartiennent à différentes catégories.

L'égalité entre deux éléments mathématiques est indiquée par le symbole de , si au contraire ces éléments sont différents l'un de l'autre, le symbole d'inégalité est donné par .

Dans le domaine géométrique il est également utile d'introduire la notion de congruence ainsi désignée et de similarité .

En mathématiques, la proportionnalité peut également être définie, notée .

Dans de nombreux cas, les concepts mathématiques et géométriques doivent être définis, le symbole de définition est ceci .

Enfin, la négation est donnée par une barre au-dessus du concept logique.

Ensuite, il y a des symboles logiques quantitatifs qui correspondent à des concepts linguistiques. L'existence d'un élément est indiquée ainsi , l'unicité de l'élément ainsi , tandis que la phrase pour chaque élément est transcrite ainsi .

D'autres symboles renvoient à des logiques d'ordonnancement, c'est-à-dire à la possibilité de lister les éléments individuels selon des critères quantitatifs, introduisant des informations bien au-delà du concept d'inégalité.

Si un élément est plus grand qu'un autre, il est indiqué par le symbole supérieur à >, s'il est plus petit par celui de moins <.

De même, pour les ensembles, le symbole d'inclusion s'applique pour désigner une plus petite quantité .

Ces symboles peuvent être combinés avec l'égalité pour générer des extensions incluant les concepts de supérieur ou égal et inférieur ou égal .

Évidemment on peut aussi avoir la négation de l'inclusion donnée par .

Une autre catégorie de symboles logiques met en jeu le concept d'appartenance.

Si un élément appartient à une autre structure logique, il est indiqué par , s'il n'appartient pas à .

Certains symboles logiques transcrivent ce qui se passe normalement dans les processus logiques de construction verbale.

L'implication donnée par une clause subordonnée hypothétique (le classique « si... alors ») est codée comme ceci , tandis que la co-implication logique (« si et seulement si ») comme ceci .

La construction linguistique tel que est résumée dans l'utilisation des deux-points :

Enfin, il existe des symboles logiques qui encodent les expressions « et/ou » (disjonction inclusive), « et » (conjonction logique), « ou » (disjonction exclusive).

Dans les deux premiers cas, un correspondant peut être trouvé dans l'union entre plusieurs éléments, indiquée par , et dans l'intersection entre plusieurs éléments .

Tous ces symboles sont appelés connecteurs logiques.

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Des principes

Il y a quatre principes logiques qui sont absolument valables dans le schéma logique élémentaire (mais pas dans certains schémas logiques avancés).

Ces principes sont des tautologies et étaient déjà connus dans la philosophie grecque antique, faisant partie du système logique d'Aristote.

1) Principe d'identité : chaque élément est égal à lui-même.

2) Principe de bivalence : une proposition est soit vraie soit fausse.

3) Principe de non-contradiction : si un élément est vrai, sa négation est fausse et inversement. D'où il suit nécessairement que cette proposition ne peut pas être vraie

4) Principe du tiers exclu : il n'est pas possible que deux propositions contradictoires soient toutes les deux fausses. Cette propriété généralise la précédente, puisque la propriété de non-contradiction n'exclut pas que les deux propositions soient fausses.

Propriétés

De plus, pour une opération logique générique, les propriétés suivantes peuvent être définies dans une structure logique générique G (il n'est pas dit que toutes ces propriétés sont valables pour chaque opération et pour chaque structure logique, cela dépendra des cas).

propriété réfléchissante :

Pour chaque élément appartenant à la structure logique, l'opération logique effectuée sur le même élément fait référence en interne à la structure logique.

Propriété d'idempotence :

Pour chaque élément appartenant à la structure logique, l'opération logique effectuée sur le même élément aboutit au même élément.

Propriété d'existence de l'élément neutre :

Pour chaque élément appartenant à la structure logique, il existe un autre élément tel que l'opération logique effectuée sur celui-ci renvoie toujours l'élément de départ.

Propriété d'existence d'élément inverse :

Pour chaque élément appartenant à la structure logique, il existe un autre élément tel que l'opération logique effectuée sur ceux-ci renvoie toujours l'élément neutre.

Propriété commutative :

Étant donné deux éléments appartenant à la structure logique, le résultat de l'opération logique effectuée sur eux ne change pas si l'ordre des éléments est modifié.

propriété transitive :

Étant donné trois éléments appartenant à la structure logique, l'opération logique effectuée sur la chaîne d'éléments ne dépend que du premier et du dernier.

Propriété associative :

Étant donné trois éléments appartenant à la structure logique, le résultat de l'opération logique qui en est faite ne change pas selon l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées.

Propriété distributive :

Étant donné trois éléments appartenant à la structure logique, l'opération logique effectuée sur un groupe de deux d'entre eux et sur l'autre est équivalente à l'opération logique effectuée sur des groupes de deux.

Les concepts d'égalité, de congruence, de similitude, de proportionnalité et d'appartenance possèdent toutes ces propriétés que nous venons d'énumérer.

Les symboles d'ordre ne satisfont que les propriétés transitives et réflexives.

Dans ce cas, la propriété d'idempotence n'est satisfaite qu'en incluant également l'ordre avec égalité, tandis que les autres propriétés ne sont pas bien définies.

L'implication logique satisfait les propriétés réflexive, idempotence et transitive, alors qu'elle ne satisfait pas les propriétés commutative, associative et distributive.

D'autre part, la co-implication les satisfait tous, tout comme les connecteurs logiques tels que la conjonction logique et la disjonction inclusive.

Une opération dans laquelle les propriétés réflexives, commutatives et transitives tiennent simultanément est appelée une relation d'équivalence .

En général, les deux théorèmes duaux de De Morgan tiennent :

Ces théorèmes impliquent les définitions des connecteurs logiques et la propriété distributive.

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Logique booléenne

Pour les connecteurs logiques, il est possible de définir, avec le formalisme de la logique dite booléenne, des tables de vérité basées sur les valeurs vraies ou fausses attribuables aux propositions individuelles.

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La négation est vraie si la proposition est fausse et vice versa.

La conjonction logique n'est vraie que lorsque les deux propositions sont vraies.

La disjonction inclusive n'est fausse que lorsque les deux propositions sont fausses.

La disjonction exclusive est fausse si les deux propositions sont fausses (ou vraies).

L'implication logique est fausse seulement si la cause est vraie et la conséquence est fausse.

La co-implication logique est vraie si les deux propositions sont vraies (ou fausses).

Dans le cas où l'implication logique est vraie, A est appelée une condition suffisante pour B, tandis que B est appelée une condition nécessaire pour A.

L'implication logique est le principal moyen de prouver les théorèmes, en considérant que A représente les hypothèses, B les thèses, tandis que la procédure d'implication logique est la preuve du théorème.

La co-implication logique est une relation d'équivalence.

Dans ce cas, A et B sont des concepts logiquement équivalents et sont à la fois des conditions nécessaires et suffisantes l'un pour l'autre.

Rappelant les propriétés exposées, la co-implication logique peut également être exprimée comme suit :

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Applications de la logique : preuve de théorèmes

La preuve mathématique d'un théorème peut être basée sur deux grandes catégories logiques.

D'une part, il y a la déduction qui, à partir d'hypothèses considérées comme vraies (ou déjà démontrées antérieurement), détermine la validité d'une thèse en vertu de la seule cohérence formelle et logique du raisonnement démonstratif. Généralement, suivant ce modèle, un mécanisme est appliqué qui va de l'universel au particulier.

D'autre part, nous avons l'induction qui, à partir de cas particuliers, fait abstraction d'une loi générale. Comme souligné à plusieurs reprises tout au long de l'histoire de la logique, chaque induction est en fait une conjecture et donc, si nous voulons utiliser la méthode logique inductive, ces propositions doivent être considérées comme des axiomes.

Dans la logique moderne, que nous n'aborderons pas dans ce paragraphe car elle traite de concepts avancés bien au-delà de la portée de ces simples bases élémentaires, la méthode inductive n'est pas acceptée comme le raisonnement logique correct pour prouver mathématiquement des thèses.

La méthode déductive est donc la principale méthode de preuve mathématique.

Elle se distingue dans la méthode directe, dans laquelle la thèse est effectivement démontrée à partir des hypothèses, et dans la méthode indirecte, dans laquelle la thèse est supposée vraie et le chemin logique est reconstruit à rebours pour atteindre les hypothèses.

La méthode indirecte peut, à son tour, faire usage de la preuve par contradiction qui, en niant la thèse, conduit à une contradiction logique et donc la thèse reste prouvée pour le principe du tiers exclu.

La méthode par contradiction consiste donc à prouver non pas que c'est vrai, mais que c'est faux.

Parfois, on peut recourir à la preuve du soi-disant contranominal pour arriver à la preuve du théorème.

Cela provient de la relation logique suivante.

Si c'est vrai , alors c'est nécessairement vrai aussi .

Dans certains secteurs particuliers des mathématiques, par exemple en géométrie, des constructions démonstratives particulières telles que celles de similarité