Champ aléatoire de Markov: Explorer la puissance des champs aléatoires de Markov en vision par ordinateur

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que le champ aléatoire de Markov

Dans le domaine de la physique et des probabilités, un champ aléatoire de Markov (MRF), un réseau de Markov ou un modèle graphique non orienté est un ensemble de variables aléatoires. ayant une propriété de Markov décrite par un graphe non orienté. En d’autres termes, un champ aléatoire est dit champ aléatoire de Markov s’il satisfait aux propriétés de Markov. Le concept provient du modèle Sherrington-Kirkpatrick.

Comment vous en bénéficierez

(I) Insights et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Champ aléatoire de Markov

Chapitre 2 : Variable aléatoire multivariée

Chapitre 3 : Modèle de Markov caché

Chapitre 4 : Réseau bayésien

Chapitre 5 : Modèle graphique

Chapitre 6 : Champ aléatoire

Chapitre 7 : Propagation des croyances

Chapitre 8 : Graphique factoriel

Chapitre 9 : Champ aléatoire conditionnel

Chapitre 10 : Théorème de Hammersley-Clifford

(II) Répondre aux principales questions du public sur le champ aléatoire de Markov.

(III) Exemples concrets d'utilisation du champ aléatoire de Markov dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Professionnels, étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, les passionnés, les amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type de champ aléatoire de Markov.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 12 mai 2024

Aperçu du livre

Champ aléatoire de Markov

Explorer la puissance des champs aléatoires de Markov en vision par ordinateur

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines commerciales internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One billion knowledge.

Un milliard de connaissances

Champ aléatoire de Markov

Explorer la puissance des champs aléatoires de Markov en vision par ordinateur

Fouad Sabry

Copyright

Markov Random Field © 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture conçue par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans ce livre.

Table des matières

Chapitre 1 : Champ aléatoire de Markov

Chapitre 2 : Variable aléatoire multivariée

Chapitre 3 : Modèle de Markov caché

Chapitre 4 : Réseau bayésien

Chapitre 5 : Modèle graphique

Chapitre 6 : Champ aléatoire

Chapitre 7 : Propagation des croyances

Chapitre 8 : Graphe factoriel

Chapitre 9 : Champ aléatoire conditionnel

Chapitre 10 : Théorème de Hammersley Clifford

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Champ aléatoire de Markov

Un champ aléatoire de Markov (MRF), un réseau de Markov ou un modèle graphique non orienté est un ensemble de variables aléatoires avec une propriété de Markov qui peut être représentée par un graphe non orienté dans les domaines de la physique et des probabilités. Pour reformuler, un champ aléatoire a des propriétés de Markov si et seulement s'il répond à certaines qualités. L'idée a été développée dans le cadre de Sherrington-Kirkpatrick.

En termes de représentation des dépendances, un réseau de Markov ou champ aléatoire de Markov (MRF) est comparable à un réseau bayésien, la principale distinction étant que les réseaux bayésiens sont dirigés et acycliques, tandis que les réseaux de Markov sont non dirigés et potentiellement cycliques. Pour cette raison, alors qu'un réseau de Markov peut représenter des dépendances qu'un réseau bayésien ne peut pas représenter (comme les relations cycliques), l'inverse n'est pas vrai (comme les dépendances induites). Un corps aléatoire de Markov peut avoir un graphe sous-jacent fini ou infini.

Le théorème de Hammersley-Clifford stipule que pour une fonction d'énergie appropriée (spécifiée localement), une mesure de Gibbs peut être utilisée pour représenter un champ aléatoire si et seulement si la densité de probabilité conjointe des variables aléatoires est strictement positive. Le modèle d'Ising sert d'exemple paradigmatique d'un champ aléatoire de Markov, et c'est dans ce contexte que le champ aléatoire de Markov a été présenté pour la première fois.

Étant donné un graphe non orienté G=(V,E) , un ensemble de variables aléatoires {\displaystyle X=(X_{v})_{v\in V}} indexées par V forment un champ aléatoire de Markov par rapport à G si elles satisfont les propriétés de Markov locales :

Toutes les paires de variables non colinéaires sont conditionnellement indépendantes par rapport à toutes les autres variables, selon la propriété de Markov par paires :

{\displaystyle X_{u}\perp \!\!\!\perp X_{v}\mid X_{V\setminus \{u,v\}}}

La propriété de Markov locale stipule que, compte tenu de son environnement immédiat, une variable donnée est conditionnellement indépendante de toute autre variable :

{\displaystyle X_{v}\perp \!\!\!\perp X_{V\setminus \operatorname {N} [v]}\mid X_{\operatorname {N} (v)}}

où {\textstyle \operatorname {N} (v)} est l'ensemble des voisins de v , et {\displaystyle \operatorname {N} [v]=v\cup \operatorname {N} (v)} est le voisinage fermé de v .

La propriété de Markov globale stipule que, étant donné un sous-ensemble de variables qui se séparent, deux sous-ensembles quelconques de variables sont conditionnellement indépendants :

X_A \perp\!\!\!\perp X_B \mid X_S

où chaque chemin d'un nœud d'entrée A à un nœud d'entrée B passe par S .

La propriété Markov globale surpasse la propriété Markov locale, qui surpasse la propriété Markov par paires. (qui ne donnent aux variables liées que des probabilités non nulles).

La formulation suivante rend le lien entre les trois caractéristiques de Markov clair comme de l'eau de roche :

Par paires : Pour tout {\displaystyle i,j\in V} élément non égal ou adjacent, {\displaystyle X_{i}\perp \!\!\!\perp X_{j}|X_{V\setminus \{i,j\}}} .

Local : Pour tout {\displaystyle i\in V} et {\displaystyle J\subset V} ne contenant pas ou n'étant pas adjacent à i , {\displaystyle X_{i}\perp \!\!\!\perp X_{J}|X_{V\setminus (\{i\}\cup J)}} .

Global : pour tout ce {\displaystyle I,J\subset V} qui ne se croise pas ou n'est pas adjacent, {\displaystyle X_{I}\perp \!\!\!\perp X_{J}|X_{V\setminus (I\cup J)}} .

Des champs aléatoires de Markov qui peuvent être factorisés en fonction des cliques du réseau sont souvent utilisés car la propriété de Markov d'une distribution de probabilité arbitraire peut être difficile à établir.

Étant donné un ensemble de variables aléatoires {\displaystyle X=(X_{v})_{v\in V}} , soit P(X=x) la probabilité d'une configuration de champ particulière x dans X .

C'est-à-dire P(X=x) que c'est la probabilité de trouver que les variables aléatoires X prennent la valeur particulière x .

Parce que X est un ensemble, la probabilité de x doit être comprise comme étant prise par rapport à une distribution conjointe de . {\displaystyle X_{v}}

Si cette densité de joints peut être factorisée sur les cliques de G :

P(X=x) = \prod_{C \in \operatorname{cl}(G)} \phi_C (x_C)

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