Interpolation bilinéaire: Amélioration de la résolution et de la clarté de l'image grâce à l'interpolation bilinéaire

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que l'interpolation bilinéaire

En mathématiques, l'interpolation bilinéaire est une méthode permettant d'interpoler les fonctions de deux variables à l'aide d'une interpolation linéaire répétée. Il est généralement appliqué aux fonctions échantillonnées sur une grille rectiligne 2D, bien qu'il puisse être généralisé aux fonctions définies sur les sommets de quadrilatères convexes arbitraires.

Comment vous en bénéficierez

(I) Informations et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Interpolation bilinéaire

Chapitre 2 : Interpolation

Chapitre 3 : Linéaire interpolation

Chapitre 4 : Interpolation polynomiale

Chapitre 5 : Polynôme de Newton

Chapitre 6 : Polynôme de Lagrange

Chapitre 7 : Interpolation spline

Chapitre 8 : Spline Hermite cubique

Chapitre 9 : Interpolation trilinéaire

Chapitre 10 : Interpolation bicubique

(II) Répondre au top public questions sur l'interpolation bilinéaire.

(III) Exemples concrets d'utilisation de l'interpolation bilinéaire dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Professionnels, étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, passionnés, amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type d'interpolation bilinéaire.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 4 mai 2024

Aperçu du livre

Interpolation bilinéaire

Amélioration de la résolution et de la clarté de l'image grâce à l'interpolation bilinéaire

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

Un milliard de connaissances

Interpolation bilinéaire

Amélioration de la résolution et de la clarté de l'image grâce à l'interpolation bilinéaire

Fouad Sabry

Copyright

Interpolation © bilinéaire 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Interpolation bilinéaire

Chapitre 2 : Interpolation

Chapitre 3 : Interpolation linéaire

Chapitre 4 : Interpolation polynomiale

Chapitre 5 : Polynôme de Newton

Chapitre 6 : Polynôme de Lagrange

Chapitre 7 : Interpolation de splines

Chapitre 8 : Spline d'Hermite cubique

Chapitre 9 : Interpolation trilinéaire

Chapitre 10 : Interpolation bicubique

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Interpolation bilinéaire

L'interpolation bilinéaire est une technique d'interpolation de fonctions à deux variables (par exemple, x et y) à l'aide d'une interpolation linéaire répétée. Il est souvent appliqué aux fonctions échantillonnées sur une grille rectiligne 2D, mais peut être étendu aux fonctions spécifiées sur les sommets de quadrilatères convexes arbitraires.

L'interpolation bilinéaire est réalisée en utilisant l'interpolation linéaire dans une direction, puis dans l'autre. Bien que chaque étape soit linéaire en termes de valeurs échantillonnées et de position, l'interpolation dans son ensemble est quadratique en termes d'emplacement de l'échantillon.

L'interpolation bilinéaire est l'une des méthodes de rééchantillonnage fondamentales de la vision par ordinateur et du traitement d'images, où elle est également connue sous le nom de filtrage bilinéaire et de mappage de texture bilinéaire.

Supposons que l'on veuille déterminer la valeur d'une fonction inconnue f à la position (x, y), y).

On suppose que nous connaissons la valeur de f aux quatre points Q11 = (x1, y1), Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) et Q22 = (x2, y2).

Tout d'abord, nous effectuons une interpolation linéaire le long de l'axe des abscisses. Cela conduit à

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y_{1})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21}),\\f(x,y_{2})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22}).\end{aligned}}}

Nous interpolons ensuite le long de l'axe des ordonnées pour obtenir l'estimation appropriée :

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{2})\\&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})\right)+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}\left(f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)+f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)+f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})+f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}-x&x-x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})\\f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{2}-y\\y-y_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Notez que le résultat est identique si l'interpolation est effectuée d'abord le long de la direction y, puis le long de la direction x.

Alternativement, la solution du problème d'interpolation peut être exprimée sous la forme d'un polynôme multilinéaire.

{\displaystyle f(x,y)\approx a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}

où les coefficients sont déterminés par une solution de système linéaire

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}&x_{1}y_{1}\\1&x_{1}&y_{2}&x_{1}y_{2}\\1&x_{2}&y_{1}&x_{2}y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}},\end{aligned}}}

Donner le résultat

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a_{00}\\a_{10}\\a_{01}\\a_{11}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-x_{2}y_{1}&-x_{1}y_{2}&x_{1}y_{1}\\-y_{2}&y_{1}&y_{2}&-y_{1}\\-x_{2}&x_{2}&x_{1}&-x_{1}\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

La réponse peut également être exprimée sous la forme d'une moyenne pondérée des valeurs f (Q) :

{\displaystyle f(x,y)\approx w_{11}f(Q_{11})+w_{12}f(Q_{12})+w_{21}f(Q_{21})+w_{22}f(Q_{22}),}

Si la somme des poids est égale à 1 et que le système linéaire transposé est satisfait

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\x_{1}&x_{1}&x_{2}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}&y_{1}&y_{2}\\x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}&x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{12}\\w_{21}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},}

Donner le résultat

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w_{11}\\w_{21}\\w_{12}\\w_{22}\end{bmatrix}}={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}},\end{aligned}}}

qui se simplifie en

{\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(x_{2}-x)(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{12}&=(x_{2}-x)(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{21}&=(x-x_{1})(y_{2}-y)/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\\w_{22}&=(x-x_{1})(y-y_{1})/((x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})),\end{aligned}}}

cohérent avec le résultat de l'interpolation linéaire successive. L'ensemble des poids peut également être interprété comme un ensemble de coordonnées barycentriques d'un rectangle qui ont été généralisées.

Compte tenu de ce qui précède, nous avons

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)\approx {\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})&f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}y_{2}&-y_{2}&-x_{2}&1\\-x_{2}y_{1}&y_{1}&x_{2}&-1\\-x_{1}y_{2}&y_{2}&x_{1}&-1\\x_{1}y_{1}&-y_{1}&-x_{1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\x\\y\\xy\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Si les quatre positions où f est connu sont (0, 0), (1, 0), (0, 1) et (1, 1), alors la formule d'interpolation se réduit à

{\displaystyle f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,1)xy,}

De même, dans les opérations matricielles :

{\displaystyle f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}.}

De plus, nous reconnaissons les poids suivants :

{\displaystyle {\begin{aligned}w_{11}&=(1-x)(1-y),\\w_{12}&=(1-x)y,\\w_{21}&=x(1-y),\\w_{22}&=xy.\end{aligned}}}