Transformation du radon: Dévoiler des modèles cachés dans les données visuelles

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que la transformée de Radon

En mathématiques, la transformée de Radon est la transformée intégrale qui prend une fonction f définie sur le plan en une fonction Rf définie sur le (deux- dimensionnel) espace de lignes dans le plan, dont la valeur sur une ligne particulière est égale à l'intégrale de ligne de la fonction sur cette ligne. La transformation a été introduite en 1917 par Johann Radon, qui a également fourni une formule pour la transformation inverse. Radon a en outre inclus des formules pour la transformation en trois dimensions, dans lesquelles l'intégrale est reprise sur les plans. Il a ensuite été généralisé aux espaces euclidiens de dimension supérieure et plus largement dans le contexte de la géométrie intégrale. L'analogue complexe de la transformée de Radon est connu sous le nom de transformée de Penrose. La transformée de Radon est largement applicable à la tomographie, la création d'une image à partir des données de projection associées aux analyses transversales d'un objet.

Comment vous en bénéficierez

(I) Informations et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Transformation de Radon

Chapitre 2 : Transformation de Fourier

Chapitre 3 : Bessel fonction

Chapitre 4 : Théorème de convolution

Chapitre 5 : Transformée de Fourier discrète

Chapitre 6 : Séries de Fourier

Chapitre 7 : Intégration par parties

Chapitre 8 : Transformée de Fourier fractionnaire

Chapitre 9 : Transformée de Mellin

Chapitre 10 : Noyau de Poisson

(II) Répondre à la Questions principales du public sur la transformation du radon.

(III) Exemples concrets d'utilisation de la transformation du radon dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Professionnels, étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, passionnés, amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type de transformation du radon.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 28 avr. 2024

Aperçu du livre

Transformation du radon

Dévoilement de modèles cachés dans les données visuelles

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

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Transformation du radon

Dévoilement de modèles cachés dans les données visuelles

Fouad Sabry

Copyright

Transformation © du radon 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Transformation du radon

Chapitre 2 : Voir aussi Formule intégrale de Schwarz Références ^ « Analyse complexe - Dérivation de la formule intégrale de Poisson à partir de la formule intégrale de Cauchy ». Échange de piles mathématiques. (consulté le 2022-08-21) Katznelson, Yitzhak (1976), Une introduction à l'analyse harmonique, Dover, ISBN 0-486-63331-4 Conway, John B. (1978), Fonctions d'une variable complexe I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3. Axler, S. ; Bourdon, Paul ; Ramey, Wade (1992), Théorie des fonctions harmoniques, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7. King, Frederick W. (2009), Transformes de Hilbert Vol. I, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5. Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction à l'analyse de Fourier sur les espaces euclidiens, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X. Weisstein, Eric W. « Noyau de Poisson ». MathWorld. Gilbarg, D. ; Trudinger, N., Équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre, ISBN 3-540-41160-7.

Chapitre 3 : Fonction de Bessel

Chapitre 4 : Théorème de convolution

Chapitre 5 : Transformée de Fourier discrète

Chapitre 6 : Séries de Fourier

Chapitre 7 : Intégration par pièces

Chapitre 8 : Transformée de Fourier fractionnaire

Chapitre 9 : Transformation de Mellin

Chapitre 10 : Noyau de Poisson

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Transformation du radon

Pour chaque fonction f définie sur le plan, la transformée de Radon la mappe sur une fonction Rf définie sur l'espace (bidimensionnel) des droites dans le plan, où la valeur de Rf à une droite donnée est l'intégrale de la droite de f le long de cette droite. Johann Radon a décrit pour la première fois la transformation en 1917 et a également donné une formule pour son inverse. L'intégrale est évaluée sur des plans, comme on le voit dans les formules de transformation tridimensionnelle de Radon (l'intégration sur les lignes est connue sous le nom de transformée en rayons X). Il a finalement été étendu au-delà du domaine de la géométrie intégrale et aux espaces euclidiens de dimension supérieure. La transformée de Penrose est la version sophistiquée de la transformée de Radon. En tomographie, où une image est reconstruite à partir de données de projection associées à des balayages en coupe transversale d'un objet, la transformée de Radon est couramment utilisée.

Si une fonction f représente une densité inconnue, lorsqu'un balayage tomographique est terminé, les données de projection sont représentées par la transformée de Radon.

Étant donné que la transformée de Radon peut être inversée, la densité d'origine peut être reconstruite à partir des données de projection, fournissant ainsi la base mathématique de la reconstruction tomographique, de la même manière que la technique de reconstruction itérative.

Étant donné que la transformée de Radon d'une source ponctuelle non centroïdale est une sinusoïde, les données résultantes sont souvent appelées sinogramme. En conséquence, la transformée de Radon d'un ensemble de petits objets ressemble à un tas d'ondes sinusoïdales étalées d'amplitudes et de phases variables dans un diagramme.

La transformée de Radon a des applications en sismologie par réflexion, en tomodensitométrie axiale (CAT), en microscopie électronique d'assemblages macromoléculaires, y compris les virus et les complexes protéiques, et en résolution d'équations aux dérivées partielles hyperboliques.

Soit {\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)} une fonction qui satisfait les trois conditions de régularité :

{\displaystyle f({\textbf {x}})} est continue ; l'intégrale double {\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy} , couvrant tout le sol, converge ; pour tout point arbitraire (x,y) du plan, elle tient que

{\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}

En passant à une matrice de Radon, Rf , est une fonction définie sur l'espace des droites {\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}} par l'intégrale de la droite le long de chacune de ces droites comme suit :

{\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}

Concrètement, le paramétrage de toute droite L par rapport à la longueur de l'arc z peut toujours s'écrire :

{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}

où s est la distance de L par rapport à l'origine et \alpha est l'angle que le vecteur normal fait L avec l' X axe des .

Il s'ensuit que les grandeurs {\displaystyle (\alpha ,s)} peuvent être considérées comme des coordonnées sur l'espace de toutes les droites de \mathbb {R} ^{2} , Dans ces axes, la transformée de Radon est définie comme suit :

{\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}

Plus généralement, dans l' n espace euclidien de dimension , \mathbb {R} ^{n} la transformée de Radon d'une fonction f satisfaisant les conditions de régularité est une fonction Rf sur l'espace \Sigma _{n} de tous les hyperplans dans \mathbb {R} ^{n} .

Pour le dire simplement, :

{\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}

lorsque l'intégrale est faite en termes de mesure des hypersurfaces naturelles, d\sigma (généralisation du {\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert } terme à partir du 2 cas -dimensionnel).

Observons que tout élément de \Sigma _{n} est caractérisé comme le lieu de solution d'une équation \mathbf {x} \cdot \alpha =s , où {\displaystyle \alpha \in S^{n-1}} est un vecteur unitaire et {\displaystyle s\in \mathbb {R} } .

Ainsi, la n transformée de Radon en dimension peut être réécrite en fonction de {\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} } via :

{\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}

Il est également possible de généraliser encore plus la transformée de Radon en intégrant à la place des k sous-espaces affines de dimension . \mathbb {R} ^{n}

Une application courante de ce cadre est la transformation en rayons X, et en l'intégrant le long de lignes courbes.

Il existe une relation étroite entre la transformée de Radon et la transformée de Fourier. La transformée de Fourier d'une seule variable est définie comme suit :

{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}

Pour une fonction d'un 2 -vecteur \mathbf {x} =(x,y) , la transformée de Fourier en une dimension :

{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}

Pour plus de commodité, indiquez {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)} .

En corollaire, le théorème de la tranche de Fourier énonce :

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}

où \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).

Ainsi, la transformée de Fourier bidimensionnelle de la fonction initiale le long d'une droite à l'angle  d \alpha 'inclinaison est la transformée de Fourier à une variable de la transformée de Radon (acquise à l'angle \alpha ) de cette fonction.

La transformée de Radon et son inverse peuvent être calculés à l'aide de ces informations.

Ce résultat est généralisable en n dimension :

{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}

Un adjoint à la transformée de Radon est la transformée de Radon double.

À partir d'une fonction g sur l'espace \Sigma _{n} , la transformée de Radon duale est la fonction {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g} sur Rn définie par :

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}

L'intégrale ici est prise sur l'ensemble de tous les hyperplans incidents avec le point {\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}} , et la mesure d\mu est la mesure de probabilité unique sur l' {\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}} ensemble invariant sous les rotations autour du point \mathbf {x} .

En particulier, la double transformation de la transformée de Radon en dimension deux est donnée par :

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}

Étant donné que la double transformation « étale » ou « projette » une fonction spécifiée sur chaque ligne du plan sur la ligne pour créer une image, elle est souvent appelée « rétroprojection » dans le domaine du traitement d'image.

Soit \Delta le laplacien sur \mathbb {R} ^{n} défini par :

{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}

Il s'agit d'un opérateur différentiel du second ordre qui est invariant par