Modèle de caméra sténopé: Comprendre la perspective grâce à l'optique informatique

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que le modèle de caméra sténopé

Le modèle de caméra sténopé est une représentation mathématique de la relation entre les coordonnées d'un point dans l'espace tridimensionnel et sa projection sur l'image. plan d’un appareil photo sténopé idéal. Dans ce modèle, l’ouverture de l’appareil photo est représentée par un point et aucun objectif n’est utilisé pour concentrer la lumière. A titre d'illustration, le modèle ne prend pas en compte les distorsions géométriques ni le flou des objets flous qui peuvent être provoqués par des objectifs et des ouvertures de taille finie. Le fait que la majorité des caméras pratiques n'aient que des coordonnées d'image discrètes n'est pas non plus pris en compte. Pour cette raison, le modèle de caméra sténopé ne peut être utilisé que comme approximation du premier ordre du mappage d’une scène tridimensionnelle à une représentation graphique bidimensionnelle. Sa validité dépend de la qualité de l'appareil photo et, en général, elle diminue du centre de l'image vers les bords à mesure que les effets de distorsion de l'objectif augmentent.

Comment vous en bénéficierez

(I) Informations et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Modèle de caméra sténopé

Chapitre 2 : Système de coordonnées cartésiennes

Chapitre 3 : Système de coordonnées sphériques

Chapitre 4 : Projection isométrique

Chapitre 5 : Représentation matricielle des sections coniques

Chapitre 6 : Optique de Fourier

Chapitre 7 : Projection 3D

Chapitre 8 : Matrice de transformation

Chapitre 9 : Pipeline graphique

Chapitre 10 : Espace tridimensionnel

(II) Répondre aux principales questions du public sur le modèle de caméra sténopé.

(III) Exemples concrets d'utilisation du modèle de caméra sténopé dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Les professionnels, les étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, les passionnés, les amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type de modèle de caméra sténopé.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 30 avr. 2024

Aperçu du livre

Modèle d'appareil photo à sténopé

Comprendre la perspective grâce à l'optique computationnelle

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

Un milliard de connaissances

Modèle d'appareil photo à sténopé

Comprendre la perspective grâce à l'optique computationnelle

Fouad Sabry

Copyright

Appareil photo à sténopé modèle © 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

Aucune partie de ce livre ne peut être reproduite sous quelque forme que ce soit ou par quelque moyen électronique ou mécanique que ce soit, y compris les systèmes de stockage et de récupération d'informations, sans l'autorisation écrite de l'auteur. La seule exception est celle d'un critique, qui peut citer de courts extraits dans une critique.

Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Modèle d'appareil photo à sténopé

Chapitre 2 : Système de coordonnées cartésiennes

Chapitre 3 : Système de coordonnées sphériques

Chapitre 4 : Projection isométrique

Chapitre 5 : Représentation matricielle des sections coniques

Chapitre 6 : L'optique de Fourier

Chapitre 7 : Projection 3D

Chapitre 8 : Matrice de transformation

Chapitre 9 : Pipeline graphique

Chapitre 10 : L'espace tridimensionnel

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Modèle d'appareil photo à sténopé

Lorsqu'il n'y a pas de lentilles impliquées dans la focalisation de la lumière, le modèle de caméra à sténopé décrit la relation mathématique entre l'emplacement d'un point dans l'espace tridimensionnel et sa projection sur le plan de l'image. Les distorsions géométriques et le flou flou dus aux objectifs et aux tailles d'ouverture fixes ne sont pas pris en compte dans le modèle. De plus, il ignore le fait que la plupart des caméras du monde réel n'utilisent que des coordonnées d'image discrètes. Cela signifie que le mappage d'une scène 3D à une image 2D produite par le modèle de caméra à sténopé n'est au mieux qu'une estimation. Sa fiabilité diminue du centre de l'image à ses bords en raison des effets de distorsion de l'objectif et varie en fonction de la qualité de l'appareil photo.

Si une caméra de haute qualité est utilisée, certains des impacts ignorés par le modèle de caméra à sténopé peuvent être pris en compte, par exemple en exécutant des transformations de coordonnées appropriées sur les coordonnées de l'image. Par conséquent, dans des domaines tels que la vision par ordinateur et l'infographie, où des descriptions précises de la façon dont une caméra représente une scène 3D sont nécessaires, le modèle de caméra à sténopé est souvent suffisant.

La figure montre le fonctionnement de la géométrie de cartographie d'une caméra à sténopé. Voici les éléments constitutifs de l'illustration :

Système de coordonnées orthogonales tridimensionnelles centré sur O. L'ouverture de l'appareil photo se trouve également ici. X1, X2 et X3 sont les noms donnés aux trois axes de coordonnées. L'axe optique, l'axe principal ou le rayon principal pointe dans la direction du champ de vision de la caméra. Le plan principal, ou face avant de la caméra, est l'espace défini par les axes X1 et X2.

Plan d'image, où le monde, en trois dimensions, est projeté à travers l'objectif d'un appareil photo.

Le plan de l'image est parallèle aux axes X1 et X2 et est situé à une distance f de l'origine O dans la direction négative de l'axe X3, où f est la distance focale de la caméra à sténopé.

Pour qu'un sténopé fonctionne en pratique, le plan de l'image doit être positionné de manière à croiser l'axe X3 en -f, où f est supérieur à zéro.

Le plan de l'image et l'axe optique se rejoignent à une position notée R. C'est le point focal, ou le cœur de l'image.

Un point P quelque part dans le monde en coordonnée (x_1, x_2, x_3) par rapport aux axes X1, X2 et X3.

Ligne utilisée par le point P pour se projeter sur le plan du film. Relier les points P et O, cette ligne verte représente cette connexion.

Il s'agit du plan de l'image sur lequel le point P est projeté, noté Q.

Le plan de l'image et la ligne de projection verte se croisent à cette position.

Dans n'importe quelle situation pratique, nous pouvons supposer que x_{3} > 0, ce qui signifie que le point d'intersection est bien défini.

En plus du monde 3D, le plan de l'image a son propre ensemble de coordonnées, avec le centre à R et les axes perpendiculaires l'un à l'autre (X1 et X2), respectivement.

Les coordonnées du point Q par rapport à ce système de coordonnées sont (y_1, y_2) .

Toutes les lignes de projection sont censées passer par un point infinitésimal à l'ouverture du sténopé de l'appareil photo. Le terme « centre optique » est utilisé pour décrire cet emplacement en trois dimensions.

Ensuite, nous voulons comprendre comment les coordonnées (y_1, y_2) du point Q dépendent des coordonnées (x_1, x_2, x_3) du point P.

La figure suivante facilitera ce processus en affichant la scène identique à la précédente, mais cette fois vue d'en haut, en ayant les yeux pointés vers le bas, le long de la direction négative de l'axe X.

La figure représente une paire de triangles congruents, dont les deux hypoténites sont des segments de la ligne de projection verte.

Les cathéti du triangle gauche sont -y_1 et f et les cathéti du triangle rectangle sont x_{1} et x_3 .

Les similitudes entre les deux triangles suggèrent que

\frac{-y_1}{f} = \frac{x_1}{x_3} ou y_1 = -\frac{f \, x_1}{x_3}

Les résultats d'une enquête similaire lorsqu'ils sont vus dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'axe X1 sont les suivants

\frac{-y_2}{f} = \frac{x_2}{x_3} ou y_2 = -\frac{f \, x_2}{x_3}

En un mot, cela signifie

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = -\frac{f}{x_3} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

qui est une expression qui décrit la relation entre les coordonnées 3D (x_1,x_2,x_3) du point P et ses coordonnées d'image (y_1,y_2) données par le point Q dans le plan de l'image.

Le mappage des coordonnées 3D à 2D décrit par une caméra à sténopé est une projection en perspective suivie d'une rotation de 180° dans le plan de l'image.

Ceci est conforme au fonctionnement d'un appareil photo à sténopé conventionnel : l'image résultante est tournée de 180° et la taille relative des objets projetés dépend de leur distance au point focal et la taille globale de l'image dépend de la distance f entre le plan de l'image et le point focal.

Pour obtenir une image qui n'a pas été tournée, ce qui est normal d'un appareil photographique, Cela peut aller dans les deux sens :

Faites pivoter le système de coordonnées dans le plan de l'image de 180° (dans l'une ou l'autre direction).

C'est la solution que tout appareil photo à sténopé fonctionnel utiliserait ; Lors de la visualisation d'une photo prise à l'aide d'un appareil photo, l'image est tournée avant d'être visualisée, Dans le cas d'un appareil photo numérique, l'image est tournée en raison de l'ordre dans lequel les pixels sont lus.

Le plan de l'image doit être déplacé de manière à ce qu'il rencontre l'axe X3 à f, plutôt qu'à -f, et tous les calculs antérieurs doivent être refaits. Comme cela ne peut pas être fait en fait, une caméra théorique est créée qui peut être plus facile à analyser que la caméra réelle.

Sans la négation, l'expression précédente donne le mappage des coordonnées de l'image 3D à 2D dans les deux circonstances.

\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \frac{f}{x_3} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

Les coordonnées homogènes sont une autre façon de décrire le mappage entre les emplacements de points 3D dans l'espace et les emplacements d'images 2D.

Soit \mathbf {x} une représentation d'un point 3D en coordonnées homogènes (un vecteur à 4 dimensions), et  soit \mathbf{y} une représentation de l'image de ce point dans la caméra à sténopé (un vecteur à 3 dimensions).

Alors la relation subséquente est vraie.

\mathbf{y} \sim \mathbf{C} \, \mathbf{x}

où \mathbf{C} est la 3\times 4 matrice de la caméra et l' \, \sim égalité des moyens entre les éléments des espaces projectifs.

Cela signifie que toute multiplication scalaire non nulle entre les côtés gauche et droit est également égale.

Une conséquence de cette relation est qu'elle peut également \mathbf{C} être vue comme un élément d'un espace projectif ; Si une multiplication scalaire de deux matrices de caméra donne le même résultat, alors les matrices sont comparables.

Le mappage de caméra à sténopé tel que décrit ici, en tant que transformation linéaire \mathbf{C} au lieu d'une fraction de deux expressions linéaires, permet de dériver plusieurs relations entre les coordonnées 3D et 2D avec moins d'étapes de calcul.

{Fin du chapitre 1}

Chapitre 2 : Système de coordonnées cartésiennes

En géométrie, un système de coordonnées cartésiennes (UK : /kɑːˈtiːzjən/, US : /kɑːrˈtiʒən/) dans un plan est un système de coordonnées qui spécifie chaque point de manière unique par une paire de nombres réels appelés coordonnées, où deux droites perpendiculaires se rencontrent en un point fixe, quelles sont les distances signées entre elles ?, des lignes de coordonnées, en abrégé, les axes de coordonnées du système, ou des axes (pluriel d'axe).

Le point d'intersection, également connu sous le nom d'origine, est marqué d'un zéro, 0) comme coordonnées.

Les coordonnées cartésiennes, c'est-à-dire les distances signées d'un point à trois plans perpendiculaires, peuvent être utilisées pour décrire l'emplacement d'un point dans l'espace tridimensionnel. En général, pour toute dimension n, un point d'un espace euclidien de dimension n peut être décrit à l'aide de n coordonnées cartésiennes. Ce sont les coordonnées d'un point, exprimées sous la forme des distances signées par rapport à n hyperplans fixes et perpendiculaires.

Les coordonnées cartésiennes sont nommées d'après René Descartes, au mathématicien dont le développement au XVIIe siècle a établi la première connexion systématique entre la géométrie et l'algèbre et a ainsi déclenché une révolution mathématique.

En appliquant le système de coordonnées cartésiennes, les équations contenant les coordonnées des points d'une forme géométrique (telle qu'une courbe) peuvent être utilisées pour décrire la forme en détail.

Par exemple, le cercle de rayon 2, situé au foyer de la genèse du plan, peut être décrit comme l'ensemble de tous les points dont les coordonnées x et y satisfont à l'équation x2 + y2 = 4.

En raison