Diffusion anisotrope: Améliorer l'analyse d'images grâce à la diffusion anisotrope

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que la diffusion anisotrope

En traitement d'image et en vision par ordinateur, la diffusion anisotrope, également appelée diffusion Perona ? Malik, est une technique visant à réduire le bruit de l'image sans supprimer des parties significatives. du contenu de l'image, généralement des bords, des lignes ou d'autres détails importants pour l'interprétation de l'image. La diffusion anisotrope ressemble au processus qui crée un espace d'échelle, où une image génère une famille paramétrée d'images successivement de plus en plus floues basées sur un processus de diffusion. Chacune des images résultantes de cette famille est donnée sous forme de convolution entre l'image et un filtre gaussien isotrope 2D, où la largeur du filtre augmente avec le paramètre. Ce processus de diffusion est une transformation linéaire et invariante dans l'espace de l'image originale. La diffusion anisotrope est une généralisation de ce processus de diffusion : elle produit une famille d'images paramétrées, mais chaque image résultante est une combinaison entre l'image originale et un filtre qui dépend du contenu local de l'image originale. En conséquence, la diffusion anisotrope est une transformation non linéaire et variable dans l'espace de l'image originale.

Comment vous en bénéficierez

(I) Insights , et des validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Diffusion anisotrope

Chapitre 2 : Lois de diffusion de Fick

Chapitre 3 : Équation de diffusion

Chapitre 4 : Équation de chaleur

Chapitre 5 : Équations de Navier-Stokes

Chapitre 6 : Variation totale

Chapitre 7 : Divergence

Chapitre 8 : Opérateur de Laplace

Chapitre 9 : Curl (mathématiques)

Chapitre 10 : Théorème de divergence

(II) Répondre aux principales questions du public sur l'anisotropie diffusion.

(III) Exemples concrets d'utilisation de la diffusion anisotrope dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Professionnels, étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, passionnés, amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type de diffusion anisotrope.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 28 avr. 2024

Aperçu du livre

Diffusion anisotrope

Amélioration de l'analyse d'images grâce à la diffusion anisotrope

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

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Diffusion anisotrope

Amélioration de l'analyse d'images grâce à la diffusion anisotrope

Fouad Sabry

Copyright

Diffusion © anisotrope 2024 de Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Diffusion anisotrope

Chapitre 2 : Les lois de la diffusion de Fick

Chapitre 3 : Équation de diffusion

Chapitre 4 : Équation de la chaleur

Chapitre 5 : Équations de Navier Stokes

Chapitre 6 : Variation totale

Chapitre 7 : Divergence

Chapitre 8 : Opérateur de Laplace

Chapitre 9 : Curl (mathématiques)

Chapitre 10 : Théorème de divergence

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Diffusion anisotrope

La diffusion anisotrope, également connue sous le nom de diffusion de Perona-Malik, est une méthode utilisée dans le traitement d'image et la vision par ordinateur pour réduire le bruit dans une image sans sacrifier les caractéristiques interprétables de l'image telles que les bords, les lignes et d'autres détails plus fins. Dans la diffusion anisotrope, une image développe une famille paramétrée d'images de plus en plus floues grâce à un processus de diffusion, analogue au processus qui construit un espace d'échelle. Chaque image de sortie de cette famille est représentée par la convolution de l'original avec un filtre gaussien isotrope à 2 dimensions dont la largeur s'adapte au fur et à mesure que le paramètre augmente. L'image est transformée de manière linéaire et invariante dans l'espace par le processus de diffusion. Dans la diffusion anisotrope, l'image d'origine est combinée avec un filtre qui dépend lui-même du contenu local de l'image d'origine pour obtenir une famille d'images paramétrées. Par conséquent, la diffusion anisotrope est un changement de l'image d'origine qui est à la fois non linéaire et variant dans l'espace.

Depuis sa création avec la présentation de Perona et Malik en 1987, les images générées ont été en mesure de maintenir des structures linéaires tout en étant lissées selon ces mêmes motifs. Dans ces deux scénarios, le coefficient de diffusion est fonction de la position spatiale de l'image et prend donc une valeur matricielle (ou tenseur) plutôt que de rester un scalaire constant (voir tenseur de structure).

Bien que le filtre adapté localement et sa combinaison avec l'image puissent être conceptualisés comme une combinaison de l'image d'origine et des filtres variant l'espace, cela n'est pas nécessaire pour la famille d'images résultante. Chaque nouvelle image de la famille est calculée en appliquant cette équation à l'image précédente, ce qui rend possible la diffusion anisotrope à l'aide d'une approximation de l'équation de diffusion généralisée. Pour atteindre le niveau de lissage souhaité, la diffusion anisotrope est un processus itératif dans lequel un ensemble très simple de calculs est utilisé pour calculer chaque image consécutive de la famille.

Formellement, soit \Omega \subset {\mathbb {R}}^{2} un sous-ensemble du plan et I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow {\mathbb {R}} une famille d'images en niveaux de gris.

{\displaystyle I(\cdot ,0)} est l'image d'entrée.

Ensuite, nous pouvons caractériser la diffusion anisotrope comme suit :

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I}

où \Delta désigne le laplacien, \nabla désigne le gradient, {\displaystyle \operatorname {div} (\cdots )} est l'opérateur de divergence et c(x,y,t) est le coefficient de diffusion.

Pour {\displaystyle t>0} , l'image de sortie est disponible sous la forme {\displaystyle I(\cdot ,t)} , plus grande t produisant des images plus floues.

c(x,y,t) contrôle la vitesse de diffusion et est généralement choisi en fonction du dégradé de l'image afin de préserver les bords de l'image.

La diffusion anisotrope a été proposée pour la première fois en 1990 par Pietro Perona et Jitendra Malik, qui ont également suggéré deux fonctions pour le coefficient de diffusion :

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}

et

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

La constante K détermine la sensibilité du système aux arêtes ; Il est généralement sélectionné de manière empirique ou en fonction du niveau de bruit de l'image.

Soit M la variété des images lisses, alors les équations de diffusion présentées ci-dessus peuvent être interprétées comme les équations de descente de gradient pour la minimisation de la fonctionnelle d'énergie E:M\rightarrow {\mathbb {R}} définie par

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{{\Omega }}g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

où g:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}} est une fonction à valeurs réelles qui est intimement liée au coefficient de diffusion.

Ensuite, pour toute fonction de test à l'infini supportée de manière compacte h ,

{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}

où la dernière ligne est une conséquence de l'intégration multidimensionnelle en plusieurs parties.

En \nabla E_{I} désignant le gradient de E par rapport au L^{2}(\Omega ,{\mathbb {R}}) produit intérieur évalué en I, cela donne

{\displaystyle \nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

Cela conduit aux équations suivantes pour la descente de gradient de la fonction E :

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

Ainsi en laissant c=g' les équations de diffusion anisotrope sont obtenues.

Le coefficient de diffusion, c(x,y,t) , tel que proposé par Perona et Malik peut conduire à des instabilités lorsque {\displaystyle \|\nabla I\|^{2}>K^{2}} .

Cette condition s'avère équivalente à une valeur négative pour le coefficient de diffusion physique (qui est distinct du coefficient de diffusion mathématique défini par Perona et Malik) et se traduit donc par une diffusion vers l'arrière qui accentue les contrastes d'intensité de l'image plutôt que de les lisser.

En évitant le problème, People a prouvé que les régularisations spatiales conduisent à une solution convergente et constante à l'état stationnaire, d'où la nécessité d'une régularisation.

La régularisation de l'équation P-M (qui sera expliquée) a un autre nom :.

En utilisant cette méthode, pour obtenir une équation de Perona-Malik modifiée, l'inconnue est convoluée avec une gaussienne à l'intérieur de la non-linéarité.

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)}

où

{\displaystyle G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)}

.

Cette régularisation permet à l'équation d'être bien posée, mais elle introduit également l'effet de flou qui est généralement associé à la régularisation. Étant donné que le paramètre de régularisation doit être sélectionné au préalable, il est essentiel de connaître le niveau de bruit à l'avance.

Le bruit dans les photographies numériques peut être lissé à l'aide de la diffusion anisotrope sans affecter la netteté des bords de l'image. Les équations de diffusion anisotrope peuvent être simplifiées à l'équation de la chaleur, qui est identique au flou gaussien, lorsque le coefficient de diffusion reste constant. Cela fonctionne à merveille pour supprimer le bruit de fond, mais cela adoucit les bords sans discrimination. Si le coefficient de diffusion est utilisé comme fonction pour éviter les arêtes vives, comme dans la méthode de Perona-Malik, alors les équations résultantes favorisent la diffusion (et par conséquent le lissage) dans les parties les moins intenses de l'image tout en l'inhibant sur les arêtes vives. Par conséquent, les limites de l'image sont protégées tandis que le bruit est réduit.

D'une manière analogue à celle de l'annulation du bruit, les algorithmes de détection des bords peuvent bénéficier de l'application de la diffusion anisotrope. Après un certain nombre d'itérations de diffusion avec un coefficient de diffusion à recherche d'arêtes, l'image aura évolué pour devenir constante par morceaux, les arêtes indiquant les limites entre les composantes constantes.

{Fin du chapitre 1}

Chapitre 2 : Les lois de la diffusion de Fick

Adolf Fick a proposé à l'origine ses lois de diffusion en 1855, décrivant la diffusion sur la base de preuves principalement expérimentales. La première loi de D. Fick peut être utilisée pour obtenir sa deuxième loi, qui est égale à l'équation de diffusion, et les deux peuvent être utilisées pour résoudre le coefficient de diffusion.

La diffusion normale ou fickien fait référence à un processus de diffusion qui suit les lois de Fick ; La diffusion anormale ou non-fickien fait référence à un processus qui s'écarte de ces règles.

Les règles désormais célèbres de la diffusion de masse ont été décrites pour la première fois par le scientifique Adolf Fick en 1855. Les recherches antérieures de Thomas Graham inspirent le travail de Fick qui, bien qu'intéressantes, ne fournissent pas les lois essentielles pour lesquelles Fick deviendra célèbre. La loi de Fick est comparable à d'autres lois découvertes à la même époque par d'autres sommités, telles que la loi de Darcy (écoulement hydraulique), la loi d'Ohm (transport de charge) et la loi de Fourier (analyse fréquentielle) (transport de chaleur).

Sur la base des travaux de Graham, Fick a mené des expériences dans lesquelles il a mesuré les concentrations et les flux de sel lorsqu'il se diffusait à travers des tubes d'eau d'un réservoir à l'autre. La diffusion dans les solides n'était généralement pas considérée comme concevable à l'époque, c'est pourquoi l'étude de Fick s'est concentrée exclusivement sur la diffusion dans les fluides. non-fickien est un terme utilisé pour le décrire.

Selon la première loi de Fick, le flux de diffusion est proportionnel au gradient de concentration. Dans sa forme la plus simple, il s'agit de l'idée qu'un soluté migrerait d'une région à forte concentration vers une région à faible concentration à travers un gradient de concentration, la quantité de flux étant proportionnelle au gradient de concentration (dérivée spatiale). Différentes variantes de la loi peuvent être exprimées dans une seule dimension (spatiale), la base molaire étant la plus répandue :

{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}

où

J est le flux de diffusion, dont la dimension est la quantité de substance par unité de surface par unité de temps. J mesure la quantité de substance qui s'écoulera à travers une unité de surface pendant un intervalle de temps unitaire.

D est le coefficient de diffusion ou diffusivité. Sa dimension est la surface par unité de temps.

φ (pour les mélanges idéaux) est la concentration, qui est mesurée en termes de masse par unité de volume.

x est la position, dont la dimension est la longueur.

D est proportionnel à la vitesse au carré des particules diffusantes, c'est-à-dire qu'il dépend de la température, conformément à la relation de Stokes-Einstein,