Projection isométrique: Explorer la perception spatiale en vision par ordinateur

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que la projection isométrique

La projection isométrique est une méthode permettant de représenter visuellement des objets tridimensionnels en deux dimensions dans des dessins techniques et techniques. Il s'agit d'une projection axonométrique dans laquelle les trois axes de coordonnées apparaissent également raccourcis et l'angle entre deux d'entre eux est de 120 degrés.

Comment vous en bénéficierez

(I) Informations et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Projection isométrique

Chapitre 2 : Projection orthographique

Chapitre 3 : Projection 3D

Chapitre 4 : Angles d'Euler

Chapitre 5 : Matrice de rotation

Chapitre 6 : Quaternions et rotation spatiale

Chapitre 7 : Projection oblique

Chapitre 8 : Matrice de transformation

Chapitre 9 : Verrouillage du cardan

Chapitre 10 : Tétraèdre

(II) Répondre aux principales questions du public sur projection isométrique.

(III) Exemples concrets d'utilisation de la projection isométrique dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Professionnels, étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, passionnés, amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type de projection isométrique.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 4 mai 2024

Aperçu du livre

Projection isométrique

Exploration de la perception spatiale dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

Un milliard de connaissances

Projection isométrique

Exploration de la perception spatiale dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry

Copyright

Projection © isométrique 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Projection isométrique

Chapitre 2 : Projection orthographique

Chapitre 3 : Projection 3D

Chapitre 4 : Angles d'Euler

Chapitre 5 : Matrice de rotation

Chapitre 6 : Quaternions et rotation spatiale

Chapitre 7 : Projection oblique

Chapitre 8 : Matrice de transformation

Chapitre 9 : Verrouillage de la nacelle

Chapitre 10 : Tétraèdre

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Projection isométrique

Dans les dessins techniques et d'ingénierie, la projection isométrique est utilisée pour créer une image bidimensionnelle d'un objet tridimensionnel. Il s'agit d'une projection axonométrique, où l'angle entre deux axes quelconques est de 120 degrés et les trois semblent être raccourcis de la même quantité.

L'isométrique, du grec signifiant « mesure égale », est une projection dans laquelle l'échelle reste constante le long de tous les axes (contrairement à d'autres formes de projection graphique).

La sélection d'un point de vue dans lequel les projections des axes x et y forment des angles droits fournit une perspective isométrique, y, les axes x et z sont équivalents, ou 120°.

Par exemple, à l'aide d'un cube, on le fait en fixant intensément son regard sur le visage de cette personne.

Ensuite, le cube est tourné de ±45° autour de l'axe vertical, suivi d'une rotation d'environ 35,264° (précisément arcsin ¹⁄√³ ou arctan ¹⁄√², Il est perpendiculaire à l'axe des x et a quelque chose à voir avec l'angle magique.

Comme on peut le voir sur l'image, le périmètre de la représentation 2D résultante d'un cube est un hexagone régulier, toutes les lignes noires étant de la même longueur et les aires de toutes les faces du cube étant les mêmes.

Vous pouvez obtenir le look sans les calculs en plaçant une feuille de papier millimétré isométrique sous votre papier à dessin habituel.

Il en va de même ici, une scène 3D peut être vue d'un point de vue isométrique.

Pour commencer, la caméra doit être au niveau du sol et parallèle aux axes de coordonnées, elle est d'abord tournée horizontalement (autour de l'axe vertical) de ±45°, puis de 35,264° autour de l'axe horizontal.

La projection isométrique peut également être imaginée comme une vue à l'intérieur d'un cube, vue depuis l'un des coins supérieurs et se déplaçant vers le mur opposé, le coin inférieur.

L'axe des x forme une diagonale vers le bas vers la droite, l'axe des y plonge vers le bas et vers la gauche sur une diagonale, et verticalement vers le haut le long de l'axe des z.

La hauteur de l'image sert également d'indicateur de profondeur.

Les lignes tracées le long des axes sont à 120° l'une par rapport à l'autre.

Une caméra avec ces caractéristiques nécessiterait un objectif télécentrique dans l'espace objet, comme ce serait le cas pour toute projection axonométrique ou orthographique, afin de s'assurer que les longueurs projetées restent constantes lorsque l'observateur s'éloigne de la caméra.

Le terme « isométrique » est souvent utilisé à tort pour décrire les projections axonométriques. Cependant, il existe en fait trois projections axonométriques distinctes : oblique, dimétrique et isométrique.

La projection isométrique nécessite deux vues, l'une d'en haut et l'autre d'en bas, compte tenu de la contradiction entre la valeur de la seconde, elle mérite quelques éclaircissements.

Imaginons d'abord un cube dont les côtés sont de longueur 2 et centrés sur le point où les axes se rencontrent, c'est-à-dire que chacune de ses faces a une intersection d'axe exactement à 1 unité de l'origine.

Nous pouvons calculer la longueur de la droite de son centre au milieu de n'importe quelle arête comme √2 en utilisant le théorème de Pythagore .

En faisant pivoter le cube de 45° sur l'axe des abscisses, pour mettre l'accent sur (1, 1, En conséquence, (1) devient (1), 0, √2) comme indiqué sur le schéma.

La deuxième rotation vise à amener le même point sur l'  axe z positif et doit donc effectuer une rotation de valeur égale à la tangente d'arc de ¹⁄√² qui est d'environ 35,264°.

Une perspective isométrique peut être obtenue à partir de l'un des huit angles différents, en fonction de la direction de l'octant de l'observateur.

La transformation isométrique d'un point ax,y,z dans l'espace 3D à un point bx,y dans l'espace 2D en regardant dans le premier octant peut être écrite mathématiquement avec des matrices de rotation comme suit :

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}

où α = arcsin(tan 30°) ≈ 35,264° et β = 45°.

Comme mentionné ci-dessus, il s'agit d'une rotation autour de l'axe vertical (ici y) de β, suivie d'une rotation autour de l'axe horizontal (ici x) de α.

L'étape suivante est une projection orthogonale du plan xy :

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}

En pivotant vers les côtés opposés, puis en inversant l'orientation de la vue, nous obtenons les sept autres choix.

Le concept d'isométrie existait depuis des siècles sous une forme empirique de base jusqu'à ce qu'il soit défini par le professeur William Farish (1759-1837).

La projection isométrique, comme toutes les projections parallèles, donne aux objets la même taille, qu'ils soient proches ou éloignés du spectateur. Bien que cela soit utile pour les conceptions architecturales où des mesures précises doivent être collectées, cela crée une illusion de distorsion car la vue humaine et la photographie ne fonctionnent généralement pas de cette manière. Comme on le voit à droite ou ci-dessus, cela peut également conduire à des circonstances où il est difficile de juger de la profondeur et de l'altitude. Les escaliers Penrose sont un exemple d'une forme apparemment contradictoire ou impossible qui peut en résulter.

Les graphiques isométriques, également connus sous le nom de graphiques de projection parallèle, sont couramment utilisés dans les jeux vidéo et le pixel art, au lieu de regarder directement vers le bas ou sur le côté, le point de vue est incliné pour montrer des détails de l'environnement qui seraient autrement cachés, créant une illusion de profondeur en trois dimensions.

malgré l'étiquette, Cependant, toutes les infographie isométriques n'utilisent pas réellement un point de vue isométrique, les axes x, y et z ne sont pas nécessairement orientés à 120° l'un par rapport à l'autre.

Au lieu de cela, plusieurs perspectives sont prises en compte, en règle générale, une projection dimétrique avec un rapport de pixels de 2 :1 est utilisée.

Les termes « perspective ³⁄⁴ », « vue ³⁄⁴ », « 2.5D », « pseudo 3D » et « pseudo 2D » sont également des synonymes courants, bien qu'il puisse y avoir quelques différences subtiles d'interprétation selon la situation.

Avec l'essor des technologies graphiques 3D plus performantes et l'évolution vers des jeux axés sur l'action et les personnages distinctifs, la projection isométrique est devenue de plus en plus rare.

{Fin du chapitre 1}

Chapitre 2 : Projection orthographique

La projection orthogonale (également la projection orthogonale et l'analemme) entraîne une transformation affine de chaque plan de l'image sur la surface de visualisation. Dans une projection oblique, les lignes de projection ne sont pas orthogonales au plan de projection.

Dans la projection multivues, l'orthographe peut faire référence à une technique dans laquelle les axes ou plans principaux du sujet sont parallèles au plan de projection pour créer les vues principales. Si les plans ou axes principaux d'un objet dans une projection orthographique ne sont pas parallèles au plan de projection, la représentation est axonométrique ou une vue auxiliaire. (Projection axonométrique et projection parallèle sont synonymes.) Les plans, les élévations et les coupes sont des sous-types de vues principales. Les projections isométriques, dimétriques et trimétriques sont des sous-types de vues auxiliaires.

Un objectif télécentrique qui donne une projection orthographique est un objectif de l'espace objet.

La matrice suivante définit une projection orthographique simple sur le plan z = 0 :

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Pour chaque point v = (vx, vy, vz), le point converti Pv serait

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix}

Souvent, il est plus avantageux d'utiliser des coordonnées homogènes. Pour des coordonnées homogènes, la transformation ci-dessus peut être exprimée comme suit :

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Pour chaque vecteur homogène v = (vx, vy, vz, 1), le vecteur Pv après transformation serait

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

En infographie, l'une des matrices les plus fréquemment utilisées pour la projection orthographique est spécifiée par le n-uplet 6 (gauche, droite, bas, haut, proche, lointain), qui spécifie les plans de découpage. Ces plans créent une boîte avec le plus petit coin à (gauche, bas, -proche) et le plus grand coin à (droite, haut, -loin) (droite, haut, -loin).

La boîte est ensuite mise à l'échelle jusqu'au cube unitaire, qui est défini comme ayant son coin minimum à (1,1,1) et son plus grand coin à (1,1,1). (1,1,1).

La matrice suivante représente la transformation orthographique :

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Celle-ci peut s'exprimer sous la forme d'une mise à l'échelle S suivie d'une translation T selon la forme

{\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

L'inversion de la matrice de projection P−1, Elle peut être utilisée comme matrice de déprojection :

{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

La projection isométrique, la projection dimétrique et