Enveloppe convexe: Explorer la coque convexe en vision par ordinateur

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que l'enveloppe convexe

L'enveloppe convexe, l'enveloppe convexe ou la fermeture convexe d'une forme est le plus petit ensemble convexe contenant la forme. Ce concept est utilisé dans le domaine de la géométrie. Il est possible de définir l'enveloppe convexe de deux manières différentes : soit comme l'intersection de tous les ensembles convexes contenant un sous-ensemble particulier d'un espace euclidien, soit, plus précisément, comme l'ensemble de toutes les combinaisons convexes de points contenus dans l'espace euclidien. sous-ensemble. L'enveloppe convexe d'un sous-ensemble délimité du plan peut être considérée comme la forme entourée d'un élastique tendu autour du sous-ensemble.

Comment vous en bénéficierez

(I) Informations et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Coque convexe

Chapitre 2 : Ensemble convexe

Chapitre 3 : Polyèdre

Chapitre 4 : Polytope

Chapitre 5 : Ajout de Minkowski

Chapitre 6 : Dualité (mathématiques)

Chapitre 7 : Carathéodory théorème (enveloppe convexe)

Chapitre 8 : Perspective curviligne

Chapitre 9 : Théorème de Radon

Chapitre 10 : Polytope convexe

(II ) Répondre aux principales questions du public sur la coque convexe.

(III) Exemples concrets d'utilisation de la coque convexe dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Professionnels, étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, passionnés, amateurs et ceux qui souhaitent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type de coque convexe.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 5 mai 2024

Aperçu du livre

Enveloppe convexe

Exploration de la coque convexe en vision par ordinateur

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

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Enveloppe convexe

Exploration de la coque convexe en vision par ordinateur

Fouad Sabry

Copyright

Coque © convexe 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Coque convexe

Chapitre 2 : Ensemble convexe

Chapitre 3 : Polyèdre

Chapitre 4 : Polytope

Chapitre 5 : Ajout de Minkowski

Chapitre 6 : Dualité (mathématiques)

Chapitre 7 : Théorème de Carath odory (coque convexe)

Chapitre 8 : Perspective curviligne

Chapitre 9 : Théorème du radon

Chapitre 10 : Polytope convexe

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Coque convexe

L'enveloppe convexe, l'enveloppe convexe ou la fermeture convexe d'une forme en géométrie est le plus petit ensemble convexe qui contient la forme. L'enveloppe convexe peut être définie comme l'intersection de tous les ensembles convexes contenant un sous-ensemble particulier d'un espace euclidien, ou comme l'ensemble de toutes les combinaisons convexes de points dans le sous-ensemble. Pour un sous-ensemble délimité de l'avion, la coque convexe peut être vue comme la forme contenue par un élastique étendu.

Les ensembles ouverts sont les enveloppes convexes des ensembles ouverts, et les ensembles compacts ont des enveloppes convexes qui sont compactes.

Chaque ensemble compact convexe est l'enveloppe convexe de ses extrémités.

L'opérateur de coque convexe est un exemple d'opérateur de fermeture, chaque antimatroïde peut être représenté en appliquant cet opérateur de fermeture à des ensembles de points finis.

Trouver l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points dans le plan ou d'autres espaces euclidiens de faible dimension présente des défis algorithmiques, et le double problème du chevauchement des demi-espaces sont des problèmes de géométrie computationnelle essentiels.

Ils peuvent être résolus dans le temps O(n\log n) pour des ensembles de points à deux ou trois dimensions, et dans le temps correspondant à la complexité de sortie du cas le plus défavorable donnée par le théorème de la borne supérieure en dimensions supérieures.

Les enveloppes convexes ont également été explorées pour les polygones simples, le mouvement brownien, les courbes d'espace et les épigraphes de fonctions, en plus des ensembles de points finis. En mathématiques, en statistiques, en optimisation combinatoire, en économie, en modélisation géométrique et en éthologie, les enveloppes convexes ont de nombreuses utilisations. Le crâne convexe, l'enveloppe convexe orthogonale, les couches convexes, la triangulation de Delaunay et le diagramme de Voronoï sont des structures apparentées.

Un ensemble de points dans un espace euclidien est convexe s'il contient les segments de droite reliant chaque paire de ses points.

L'enveloppe convexe d'un ensemble donné X peut être définie comme suit :

L'ensemble convexe minimal (unique) contenant X

L'intersection de tous les ensembles convexes contenant X

L'ensemble de toutes les combinaisons convexes de points dans X

L'union de tous les simplices avec des sommets dans X

Pour les ensembles qui sont limités dans le plan euclidien, et non sur une seule ligne, la limite de l'enveloppe convexe est la courbe fermée simple avec un périmètre minimum contenant X .

On peut imaginer qu'on étire un élastique de manière à ce qu'il entoure l'ensemble puis qu'on S le libère, ce qui lui permet de rétrécir ; lorsqu'il se resserre, il entoure la coque convexe de S .

Pour les objets tridimensionnels, la définition initiale de l'enveloppe convexe spécifie qu'il s'agit du plus petit volume englobant convexe possible. La définition utilisant des intersections d'ensembles convexes peut être étendue à la géométrie non euclidienne, et la définition utilisant des combinaisons convexes peut être étendue des espaces euclidiens aux espaces vectoriels réels arbitraires ou aux espaces affines ; Les coques convexes peuvent également être généralisées de manière abstraite aux matroïdes orientés.

Il n'est pas évident que la première définition ait du sens : pourquoi existerait-il un ensemble convexe minimal unique contenant X , pour tout X ? Cependant, la seconde signification, l'intersection de tous les ensembles convexes contenant X , est clairement définie.

Il s'agit d'un sous-ensemble de tous les autres ensembles convexes Y qui contient X , car Y est inclus parmi les ensembles intersectés.

Ainsi, il s'agit exactement de l'unique ensemble convexe minimal contenant X .

Par conséquent, les deux définitions initiales sont identiques.

Chaque ensemble convexe contenant X doit (en supposant qu'il est convexe) contenir toutes les combinaisons convexes de points dans X , de sorte que l'ensemble de toutes les combinaisons convexes est contenu dans l'intersection de tous les ensembles convexes contenant X .

Inversement, l'ensemble de toutes les combinaisons convexes est lui-même un ensemble convexe contenant X , il contient donc aussi l'intersection de tous les ensembles convexes contenant X , de sorte que les deuxième et troisième définitions ont la même signification.

En fait, selon le théorème de Carathéodory, si X est un sous-ensemble d'un d espace euclidien de dimension , toute combinaison convexe d'un nombre fini de points de X est aussi une combinaison convexe d'au plus d+1 des points de X .

L'ensemble des combinaisons convexes d'un (d+1) -tuple de points est un simplexe ; En deux dimensions, c'est un triangle, alors qu'en trois dimensions, c'est un tétraèdre.

Par conséquent, toute combinaison convexe de points de X appartient à un simplexe dont les sommets appartiennent à X , égal aux troisième et quatrième définitions.

En deux dimensions, la coque convexe est parfois divisée en deux sections, la coque supérieure et la coque inférieure, s'étendant des points les plus à gauche et les plus à droite de la coque. En général, on peut diviser la bordure des enveloppes convexes de n'importe quelle dimension en points orientés vers le haut (points pour lesquels un rayon vers le haut est discontinu à partir de l'enveloppe), points orientés vers le bas et points extrêmes. Les parties orientées vers le haut et vers le bas de la limite pour les coques tridimensionnelles forment des disques topologiques.

L'enveloppe convexe fermée d'un ensemble est la fermeture de l'enveloppe convexe, tandis que l'enveloppe convexe ouverte est l'intérieur (ou dans certaines sources, l'intérieur relatif) de l'enveloppe convexe.

L'enveloppe convexe fermée de X est l'intersection de tous les demi-espaces fermés contenant X .

Si l'enveloppe convexe de X est déjà elle-même un ensemble fermé (comme c'est le cas, par exemple, si X est un ensemble fini ou plus généralement un ensemble compact), elle est par conséquent identique à l'enveloppe convexe fermée.