Théorème de projection de Hilbert: Déverrouiller les dimensions dans la vision par ordinateur

Par Fouad Sabry

Qu'est-ce que le théorème de projection de Hilbert

En mathématiques, le théorème de projection de Hilbert est un résultat célèbre de l'analyse convexe qui dit que pour chaque vecteur  dans un espace Hilbert  et chaque convexe fermé non vide  il existe un vecteur unique  pour lequel  est minimisé sur les vecteurs ; c'est-à-dire de telle sorte que  pour chaque

Comment vous en bénéficierez

(I) Informations et validations sur les sujets suivants :

Chapitre 1 : Hilbert Théorème de projection

Chapitre 2 : Espace de Banach

Chapitre 3 : Espace produit interne

Chapitre 4 : Théorème de représentation de Riesz

Chapitre 5 : Opérateur auto-adjoint

Chapitre 6 : Classe Trace

Chapitre 7 : Opérateur (physique)

Chapitre 8 : Espace de Hilbert

Chapitre 9 : Norme (mathématiques)

Chapitre 10 : Analyse convexe

(II) Répondre aux principales questions du public sur le théorème de projection de Hilbert.

(III) Monde réel exemples d'utilisation du théorème de projection de Hilbert dans de nombreux domaines.

À qui s'adresse ce livre

Professionnels, étudiants de premier cycle et des cycles supérieurs, passionnés, amateurs et ceux qui veulent aller au-delà des connaissances ou des informations de base pour tout type de théorème de projection de Hilbert.

 

 

• Langue: Français
• Éditeur: Un Milliard De Personnes Informées [French]
• Date de sortie: 5 mai 2024

Aperçu du livre

Théorème de projection de Hilbert

Déverrouiller les dimensions dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

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Théorème de projection de Hilbert

Déverrouiller les dimensions dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry

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Théorème © de projection de Hilbert 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Théorème de projection de Hilbert

Chapitre 2 : Voir aussi Convexité en économie Sujet important en économie Non-convexité (économie) Violations des hypothèses de convexité de l'économie élémentaire Liste des sujets de convexité Werner Fenchel Mathématicien allemand Notes ^ a b Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Analyse convexe. Princeton, NJ : Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6. ^ a b c Rockafellar & Wets 2009, pp. 1 28. ^ a b Z ?linescu 2002, p. 75 79. ^ Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006). Analyse convexe et optimisation non linéaire : théorie et exemples (2 éd.). Springer. p. 76 et 77. ISBN 978-0-387-29570-1. ^ a b Bo ?, Radu Ioan ; Wanka, Gert ; Grad, Sorin-Mihai (2009). Dualité dans l'optimisation vectorielle. Springer. ISBN 978-3-642-02885-4. ^ Z ?linescu 2002, p. 106 113. ^ Csetnek, Ern Robert (2010). Surmonter l'échec des conditions classiques de régularité généralisée du point intérieur dans l'optimisation convexe. Applications de la théorie de la dualité à l'agrandissement d'opérateurs monotones maximaux. Logos Verlag Berlin GmbH. ISBN 978-3-8325-2503-3. ^ Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006). Analyse convexe et optimisation non linéaire : théorie et exemples (2 éd.). Springer. ISBN 978-0-387-29570-1. ^ Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimisation convexe (PDF). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (consulté le 3 octobre 2011) ^ La conclusion est immédiate si {\displaystyle X=\{0\}} suppose le contraire. Correction de {\displaystyle x\in X.} En remplaçant f par la norme, on obtient {\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~ :~\left\langle x^{*},x\right\rangle -\|x\|\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle -\|z\|{ \text{ pour tous }}z\in X\right\}.} Si {\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)} et r \geq 0 est réel, alors l'utilisation de {\displaystyle z :=rx} donne {\displaystyle \left\langle x^{*},x\riht\rangle -\|x\|\geq \left\langle x^{*},rx\right\rangle -\|rx\|=r\left[\left\langle x^{*},x\right\rangle -\|x\|\right],} où en particulier, la prise de {\displaystyle r :=2} donne {\displaystyle x^{*}(x)\geq \|x\|} en prenant {\displaystyle r :={\frac {1}{2}}} donne {\displaystyle x^{*}(x)\leq \|x\|} et donc {\displaystyle x^{*}(x)=\|x\|} ; De plus, si en plus x\neq 0 alors parce que {\displaystyle x^{*}\left({\frac {x}{\|x\|}} \right)=1,} Il résulte de la définition de la norme duale que {\displaystyle \left\|x^{*}\right\|\geq 1.} Parce que {\displaystyle \partial f(x)\subseteq \left\{x^{*}\in X^{*}~ :~x^{*}(x)=\|x\|\right\},} qui est équivalent à {\displaystyle \partial f(x)=\partial f(x)\cap \left\{x^{*}\in X^{*}~ :~x^{*}(x)=\|x\|\right\},} il suit tat {\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~ :~x^{*}(x)=\|x\|{ \text{ et }}\|z\|\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle {\text{ for all }}z\in X\right\},} ce qui implique {\displaystyle \left\|x^{*}\right\|\leq 1} pour tout {\displaystyle x^{*}\in \partial f(x).} À partir de ces faits, la conclusion peut maintenant être tirée. ? Références Bauschke, Heinz H. ; Combettes, Patrick L. (28 février 2017). Analyse convexe et théorie des opérateurs monotones dans les espaces de Hilbert. Livres CMS en mathématiques. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-48311-5. OCLC 1037059594. Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (8 mars 2004). Optimisation convexe. Série Cambridge en mathématiques statistiques et probabilistes. Cambridge, Royaume-Uni New York : Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. OCLC 53331084. Hiriart-Urruty, J.-B. ; Lemar chal, C. (2001). Principes fondamentaux de l'analyse convexe. Berlin : Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1. Kusraev, A.G. ; Kutateladze, Semen Samsonovich (1995). Sous-différentiels : théorie et applications. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-011-0265-0. Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 juin 2009). Analyse variationnelle. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin, New York : Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544. Rudin, Walter (1991). Analyse fonctionnelle. Série internationale en mathématiques pures et appliquées. Vol. 8 (deuxième éd.). New York, NY : McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. Singer, Ivan (1997). Analyse convexe abstraite. Série de monographies et de textes avancés de la Société mathématique du Canada. New York : John Wiley & Sons, Inc. pp. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6. M. 1461544. Stoer, J. ; Witzgall, C. (1970). Convexité et optimisation en dimensions finies. Vol. 1. Berlin : Springer. ISBN 978-0-387-04835-2. Z ?linescu, Constantin (30 juillet 2002). Analyse convexe dans les espaces vectoriels généraux. River Edge, N.J. Londres : World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. M. 1921556. OCLC 285163112 � via Internet Archive. Médias liés à l'analyse convexe sur Wikimedia Commons

Chapitre 3 : Espace intérieur du produit

Chapitre 4 : Voir aussi Forme bilinéaire Fonction bilinéaire à valeurs scalaires Système biorthogonal Espace   double En mathématiques, espace vectoriel des formes linéaires Espace   énergétique Sous-espace d'un espace de Hilbert réel donné équipé d'un nouveau produit interne « énergétique » L-produit semi-intérieur Généralisation des produits internes qui s'applique à tous les espaces normés Distance de Minkowski Métrique mathématique dans l'espace vectoriel normé Base orthogonale Complément orthogonal Base orthonormée Base linéaire spécifique (mathématiques) Variété riemannienne Notes ^ En combinant le linéaire de la propriété du premier argument avec la propriété de symétrie conjuguée, vous obtenez le conjugué-linéaire dans le deuxième argument : {\textstyle \langle x,by\rangle =\langle x,y\rangle {\overline {b}}} . C'est ainsi que le produit interne a été défini à l'origine et est utilisé dans la plupart des contextes mathématiques. Une convention différente a été adoptée en physique théorique et en mécanique quantique, issue de la notation bra-ket de Paul Dirac, où le produit interne est considéré comme linéaire dans le deuxième argument et conjugué-linéaire dans le premier argument ; Cette convention est utilisée dans de nombreux autres domaines tels que l'ingénierie et l'informatique. Références ^ a b c Tr ves 2006, p. 112 125. ^ Schaefer & Wolff 1999, pp. 40 45. ^ Moore, Gregory H. (1995). « L'axiomatisation de l'algèbre linéaire : 1875-1940 ». Historia Mathematica. 22 (3) : 262 303. doi :10.1006/hmat.1995.1025. ^ Schaefer & Wolff 1999, pp. 36 72. ^ Jaïn, P. K. ; Ahmad, Khalil (1995). « 5.1 Définitions et propriétés de base des espaces produits internes et des espaces de Hilbert ». Analyse fonctionnelle (2e éd.). New Age International. , p. 203. ISBN 81-224-0801-X. ^ Prugove ?ki, Eduard (1981). « Définition 2.1 ». Mécanique quantique dans l'espace de Hilbert (2e éd.). Academic Press. pp. 18ff. ISBN 0-12-566060-X. ^ Schaefer 1999, p. 44. ^ Ouwehand, Peter (novembre 2010). « Espaces de variables aléatoires » (PDF). VISE. Archivé de l'original (PDF) le 2017-09-05 . (consulté le 2017-09-05) ^ Siegrist, Kyle (1997). « Espaces vectoriels de variables aléatoires ». Aléatoire : probabilités, statistiques mathématiques, processus stochastiques. (consulté le 2017-09-05) ^ Bigoni, Daniele (2015). « Annexe B : Théorie des probabilités et espaces fonctionnels » (PDF). Quantification de l'incertitude avec applications aux problèmes d'ingénierie (PhD). Université technique du Danemark. (consulté le 2017-09-05) ^ Apostol, Tom M. (1967). « L'inégalité de Ptolémée et la métrique des accords ». Magazine de mathématiques. 40 (5) : 233 235. doi :10.2307/2688275. JSTOR 2688275. ^ a b Rudin 1991, pp. 306 312. ^ Rudin 1991 Bibliographie Axler, Sheldon (1997). L'algèbre linéaire bien faite (2e éd.). Berlin, New York : Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98258-8. Dieudonn , Jean (1969). Traité d'analyse, Vol. I [Fondements de l'analyse moderne] (2e éd.). Academic Press. ISBN 978-1-4067-2791-3. Emch, Gerard G. (1972). Méthodes algébriques en mécanique statistique et théorie quantique des champs. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-23900-0. Halmos, Paul R. (8 novembre 1982). Un livre sur les problèmes de l'espace de Hilbert. Textes de troisième cycle en mathématiques. Vol. 19 (2e éd.). New York : Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC 8169781. Lax, Peter D. (2002). Analyse fonctionnelle (PDF). Mathématiques pures et appliquées. New York : Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143. (consulté le 22 juillet 2020) Rudin, Walter (1991). Analyse fonctionnelle. Série internationale en mathématiques pures et appliquées. Vol. 8 (deuxième éd.). New York, NY : McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espaces vectoriels topologiques. GTM. Vol. 8 (deuxième éd.). New York, NY : Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. Schechter, Eric (1996). Manuel d'analyse et ses fondements. San Diego, Californie : Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365. Swartz, Charles (1992). Une introduction à l'analyse fonctionnelle. New York : M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067. Tr ves, Fran ois (2006) [1967]. Espaces vectoriels topologiques, distributions et noyaux. Mineola, N.Y. : Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. Young, Nicholas (1988). Une introduction à l'espace Hilbert. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33717-5. Zamani, A. ; Moslehian, M.S. ; & Frank, M. (2015) « Angle Preserving Mappings », Journal of Analysis and Applications 34 : 485 à 500 doi :10.4171/ZAA/1551

Chapitre 5 : Opérateur auto-adjoint

Chapitre 6 : Classe Trace

Chapitre 7 : Opérateur (physique)

Chapitre 8 : L'espace de Hilbert

Chapitre 9 : Norme (mathématiques)

Chapitre 10 : Analyse convexe

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Théorème de projection de Hilbert

En mathématiques, le théorème de projection de Hilbert est un résultat célèbre de l'analyse convexe qui dit que pour tout vecteur x dans un espace de Hilbert H et tout convexe fermé non vide, {\displaystyle C\subseteq H,} il existe un vecteur unique {\displaystyle m\in C} pour lequel {\displaystyle \|c-x\|} est minimisé sur les vecteurs c\in C ; c'est-à-dire tel que {\displaystyle \|m-x\|\leq \|c-x\|} pour tout {\displaystyle c\in C.}

En considérant la condition du premier ordre du problème d'optimisation, on