Relativité restreinte, mécanique quantique et relativité générale: Base physique et mathématique de la relativité restreinte et générale et de la mécanique quantique

Par Bruno Rossetto

Cet ouvrage s’adresse à tous ceux qui veulent s’initier de manière progressive, raisonnée, construite, à la relativité restreinte, à la mécanique quantique et à la relativité générale, comprendre les démarches mises en œuvre, apprendre les mathématiques utilisées, connaître l’histoire de l’évolution des idées.
L’objectif est pédagogique. Pas de découpetages d’algébrie, de dosotages sophistiqués. Grâce à une présentation claire et aussi simple que possible, il s’attache à permettre à tout lecteur dont le niveau correspond à la fin d’un premier cycle scientifique universitaire, d’entrer directement dans le vif du sujet, d’avancer en étant accompagné et, le plus important, de comprendre pourquoi, à partir de postulats élémentaires et à l’aide d’outils mathématiques appropriés, on arrive à décrire des phénomènes souvent complexes, peu intuitifs et même paradoxaux, et à retrouver les valeurs issues de l’expérience, certaines avec une précision faramineuse.
Dans cet ouvrage, les mathématiques sont mises en place sans concession, mais l’équilibre est recherché en permanence entre les idées concrètes et le formalisme abstrait, entre la simplicité de la démarche et la difficulté des calculs. De nombreux tableaux peuvent servir de formulaires raisonnés.

• Langue: Français
• Éditeur: Les Éditions du Net
• Date de sortie: 7 août 2023
• ISBN: 9782312135281

Aperçu du livre

cover.jpg

RELATIVITÉ RESTREINTE, MÉCANIQUE QUANTIQUE ET RELATIVITÉ GÉNÉRALE

BRUNO ROSSETTO

RELATIVITÉ RESTREINTE, MÉCANIQUE QUANTIQUE ET RELATIVITÉ GÉNÉRALE

Base physique et mathématique

de la relativité restreinte et générale

et de la mécanique quantique

LES ÉDITIONS DU NET

126, rue du Landy 93400 St Ouen

Du même auteur

Analyse harmonique, Cours et exercices  (184 p.), éd. Ellipses (1997)

Stratégies pour la réussite de l’Université  (139 p.), éd. Laurens Lévy (2006)

Les mathématiques en fiches de travail  (474 p.), éd. Ellipses (2014)

Encore des maths ! Mais pour quoi faire ? De la musique, bien sûr !  (84 p.), co-auteur Pascal  Reymond, éd. Universitaires Européennes (2019)

© Les Éditions du Net, 2023

ISBN : 978-2-312-13528-1

Tout s’explique !

Stéphanie Bouillard

Depuis que les mathématiciens ont envahi la théorie

de la relativité, moi-même je n’y comprends plus rien.

Albert Einstein, cité par Carl Seelig

dans  Albert Einstein (Europa Verlag, Zurich,1960)

SOMMAIRE

Sommaire

Avant-propos

PREMIÈRE PARTIE

Relativité restreinte

Introduction

Les problèmes de la mécanique newtonienne

1

Les postulats de la relativité restreinte

2

Outils mathématiques : quadrivecteurs, tenseurs

2.1. Symboles, notations, règles et conventions

2.2. Quadrivecteurs, coordonnées contravariantes

2.3. Produit scalaire, tenseur métrique, coordonnées covariantes, espace dual

2.4. Sur les coordonnées, le produit scalaire, les quadrivecteurs

3

La relativité de l’espace et du temps

3.1. Changement de repère galiléen

3.2. Invariance de l’intervalle pour des repères inertiels

3.3. Cône de lumière

3.4. Temps propre, dilatation du temps, contraction des longueurs

4

Équivalence masse – énergie

4.1. Ligne d’univers, quadrivecteurs vitesse et impulsion-énergie

4.2.

5

Électromagnétisme et relativité restreinte

5.1. L’unification des champs électrique et magnétique

5.2. Les équations de Maxwell

Annexe de la première partie

Annexe 1. Transformation de Lorentz

A1.1. Obtention de la transformation de Lorentz à partir des deux postulats de la relativité restreinte

A1.2. Démonstration directe de l’invariance de l’intervalle à partir des deux postulats.

A1.3. Le groupe de Lorentz

A1.4. Relation entre les TL des coordonnées contravariantes et covariantes

A1.5. Propriété

Annexe 2. Principe de moindre action et relativité restreinte

A2.1. Le principe de moindre action en physique

A2.2. Le principe de moindre action en relativité restreinte

a) Le lagrangien en relativité restreinte

b) Le principe de moindre action en relativité restreinte et les équations du mouvement dans un champ électromagnétique. L’action correspondant à ce lagrangien prend différentes formes

DEUXIÈME PARTIE

Mécanique quantique

1

Introduction

1.1. Le déterminisme laplacien

1.2. La dynamique newtonienne

1.3. Quelques problèmes posés par la physique classique

1.4. Quantification de l’énergie

2

Les mathématiques de la mécanique quantique

2.1. Espace de Hilbert

2.2. Espace des états, superposition linéaire

2.3. Représentation –q, représentation –p, lien entre elles

2.4. Observable

2.4.1. Quelques observables, leurs valeurs propres ou fonctions propres

a) Observables position et impulsion

b) Observable moment cinétique générique

c) Observable hamiltonien

d) Lien entre les représentations  et . Par transformée de Fourier (cf. Représentations)

2.4.2. Ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC)

a) Observables ,  et . Représentation . Les observables position, dont les opérateurs sont

c) Observables moment cinétique. Si l’hamiltonien n’est pas spécifié,   et  forment un ECOC

d) Observables hamiltonien et moment cinétique

e) Observables hamiltonien, moment cinétique et spin.

2.5. Moyenne ou espérance quantique

2.6. Commutateurs et relations d’incertitude d’Heisenberg

3

Les 7 postulats de la mécanique quantique

3.1. Principe de superposition, état d’un système

3.2. Principe de correspondance, opérateurs

3.3. Mesure

3.4. Interprétation probabiliste

3.5. La mesure fige l’état du système

3.6. Évolution d’un système, équation de Schrödinger

4

Moment cinétique

4.1. Opérateur moment cinétique générique

4.2. Moment cinétique orbital.

4.3. Harmoniques sphériques, onde plane sphérique en représentation

4.4. Spin

5

L’équation de Schrödinger

5.1. D’où vient l’équation des ondes en mécanique classique ?

5.2. La démarche de Schrödinger (1925)

6

Particule libre. Onde plane sphérique

7

L’atome d’hydrogène

7.1. L’atome de Bohr

7.2. Calcul des niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène

8

Potentiel central

9

Oscillateur harmonique

9.1. Équation de Schrödinger pour l’oscillateur harmonique

9.2. Quantification des niveaux d’énergie

9.3. Fonction d’onde de l’oscillateur harmonique

9.4. Application à l’étude du corps noir

9.5. Autre application de l’oscillateur harmonique

10

Mécanique ondulatoire

10.1. Notion de vitesse de groupe et de vitesse de phase

10.2. Lien entre vitesse de groupe et vitesse de phase

10.3. Onde associée de Louis de Broglie ou onde de matière

10.4. Mécanique ondulatoire et électrodynamique quantique

11

Propagateur

11.1. Définition du propagateur

11.2. Propagateur de la particule libre

11.3. Où l’on retrouve les postulats de L. de Broglie et de M. Planck

12

Électrodynamique quantique

12.1. Les bases de l’électrodynamique quantique

12.2. Amplitude de probabilité de présence, intégrale de chemins, diagrammes de Feynman

12.3. Quelques résultats de l’électrodynamique quantique

Annexes de la deuxième partie

A1. Sur le principe de moindre action

A1.1.  Le principe de moindre action en mécanique classique

A1.2. Le principe de moindre action en mécanique quantique

A2. Le vide quantique

A2.1. Génération de paires particules-antiparticules virtuelles.

A2.2. Polarisation du vide

A3. Intrication quantique

TROISIÈME PARTIE

Relativité générale

1

Coordonnées polaires : un exemple simple de repère naturel et de symboles de Christoffel

1.1. Coordonnées curvilignes : cas des coordonnées polaires

1.2. Repère naturel, ou base naturelle, en coordonnées polaires

1.3. Le problème fondamental de l’analyse tensorielle. Symboles de Christoffel. Cas des coordonnées polaires

1.4. Propriétés des coordonnées polaires

2

Repère naturel

2.1. Coordonnées curvilignes : cas des coordonnées sphériques

2.2. Repère naturel, ou base naturelle, en coordonnées sphériques

2.3. Le problème fondamental de l’analyse tensorielle. Symboles de Christoffel en coordonnées sphériques

2.4. Evolution d’un vecteur le long d’une courbe sur une variété dans un espace de Riemann. Transport parallèle

3

Symboles de Christoffel

3.1. Définitions et propriétés

3.2. Expressions des symboles de Christoffel de 1ère espèce en fonction du tenseur métrique

4

Dérivée covariante

4.1. Gradient

4.3. Dérivée covariante

4.4. Représentation de la dérivée covariante

5

Transport parallèle

5.1. Définition

5.2. Illustration géométrique dans

5.3. Géométrie du transport parallèle

5.4. Propriétés

6

Relativité générale

6.1. Les problèmes posés par la relativité restreinte

6.2. Le principe d’équivalence de la relativité générale

6.3. Le formalisme de la relativité générale

6.4. Rappels

6.5. Géodésiques

7

Courbure, tenseurs de Riemann-Christoffel, Ricci, Einstein

7.1. Dérivée covariante seconde

7.2. Tenseur de Riemann-Christoffel ou tenseur de courbure

7.3. Géométrie du tenseur de Riemann-Christoffel

7.4. À propos du tenseur de Riemann-Christoffel

7.5. Tenseur de Ricci et courbure scalaire

7.6. Tenseur d’Einstein

8

Le tenseur énergie - impulsion

8.1. Le tenseur énergie - impulsion en relativité restreinte

8.2. Le tenseur énergie - impulsion en relativité générale

8.3. Propriétés du tenseur énergie - impulsion en relativité générale

9

Équation d’Einstein

9.1. Le tenseur énergie - impulsion en relativité générale

9.2. Le tenseur de courbure

9.3. L’équation d’Einstein

9.4. Résolution de l’équation d’Einstein

Annexe de la troisème partie

Principe de moindre action en relativité générale

Index

Table des matières

AVANT-PROPOS

Cet ouvrage s’adresse à tous ceux qui veulent s’initier de manière progressive, raisonnée, construite, à la relativité restreinte, à la mécanique quantique et à la relativité générale, comprendre les démarches mises en œuvre, apprendre les mathématiques utilisées, connaître l’histoire de l’évolution des idées.

La relativité restreinte et la mécanique quantique ont révolutionné la pensée scientifique et ont servi de base aux théories aujourd’hui en vigueur. Mais, déjà en elles-mêmes, elles ont de quoi éveiller notre curiosité.

La relativité restreinte est un modèle de théorie déductive. À partir d’un postulat élémentaire, on fait des mathématiques et on en déduit la formule la plus puissante de la physique, dans tous les sens du terme, .

L’infiniment petit est décidément déconcertant : personne ne comprend la mécanique quantique, mais chacun peut l’utiliser pour faire des calculs dont l’accord avec l’expérience est extraordinairement précis ; on apprend qu’une particule a le don de se trouver simultanément dans tous ses états, mais qu’elle le perd lorsque l’on cherche à savoir où elle se trouve et dans quel état ; on constate qu’elle reste liée à une autre particule qu’elle a côtoyée alors qu’elle se situe maintenant à distance, et que tout se passe comme si elle pouvait interagir instantanément avec elle, ce qui est incompatible avec la relativité restreinte ...

Quant à la relativité générale, elle est compatible avec toutes les observations qui ont été faites à ce jour.

Dans cette théorie, on cherche à écrire les équations du mouvement de telle sorte que la masse inerte et la masse pesante, que l’on confond déjà en mécanique newtonienne et en relativité restreinte au point de les exprimer avec la même unité, soient une seule et même entité. Mais l’écart entre la simplicité de cette idée et la complexité des calculs est gigantesque. D’autre part, la relativité générale nous apprend que la matière structure l’espace et que, s’il n’y avait pas de matière, le concept d’espace tel que nous le connaissons n’existerait pas.

La relativité restreinte, la mécanique quantique et la relativité générale ont fait l’objet d’un très grand nombre d’articles et d’ouvrages que nous répartissons en deux catégories :

- ceux qui ont été écrits par les fondateurs (Einstein, Bohr, Born, Schrödinger, de Broglie, Levi-Civita, …), ainsi que l’histoire des sciences et certains travaux sur l’épistémologie. Ces publications possèdent un intérêt majeur sur le plan didactique, car elles aident à comprendre ces grandes théories et présentent de manière appropriée les outils mathématiques qu’elles utilisent,

- les travaux des mathématiciens. Il faut les connaître pour se familiariser avec le formalisme, mais leur approche n’aide pas toujours à mieux comprendre la physique.

Cet ouvrage a un objectif pédagogique. Chaque chapitre résulte d’une réflexion didactique. Pas de découpetages d’algébrie, de dosotages sophistiqués. Grâce à une présentation claire et aussi simple que possible, il s’attache à permettre à tout lecteur dont le niveau correspond à la fin d’un premier cycle scientifique universitaire, d’entrer directement dans le vif du sujet, d’avancer en étant accompagné et, le plus important, de comprendre pourquoi, à partir de postulats élémentaires et à l’aide d’outils mathématiques appropriés, on arrive à décrire de nombreux phénomènes souvent complexes, peu intuitifs et même paradoxaux, et à retrouver les valeurs issues de l’expérience, certaines avec une précision faramineuse.

Dans cet ouvrage, les mathématiques sont mises en place sans concession, mais l’équilibre est recherché en permanence entre les idées concrètes et le formalisme abstrait, entre la simplicité de la démarche et la difficulté des calculs. De nombreux tableaux peuvent servir de formulaires raisonnés.

Je saurai gré à tout lecteur qui propose un commentaire, une amélioration, ou qui détecte une