Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés

Par Joseph Louis Lagrange

La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière analyse, à la résolution d’une ou de plusieurs équations, dont les coefficients sont donnés en nombres, et qu’on peut appeler équations numériques. Il est donc important d’avoir des méthodes pour résoudre complètement ces équations, de quelque degré qu’elles soient. Celle que l’on trouve dans le Recueil des Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1767, est la seule qui offre des moyens directs et sûrs de découvrir toutes les racines tant réelles qu’imaginaires d’une équation numérique donnée, et d’approcher le plus rapidement et aussi près que l’on veut de chacune de ces racines. On a réuni dans le présent Traité le Mémoire qui contient cette méthode et les Additions qui ont paru dans le volume des Mémoires de la même Académie, pour l’année 1768. Et pour rendre ce Traité plus intéressant, on y a joint plusieurs Notes, dont les deux dernières paraissent pour la première fois dans cette nouvelle édition. Ces Notes contiennent des recherches sur les principaux points de la théorie des équations algébriques.

• Langue: Français
• Éditeur: Librorium Editions
• Date de sortie: 20 avr. 2024
• ISBN: 9782385746131

Aperçu du livre

CHAPITRE PREMIER.

méthode pour trouver, dans une équation numérique quelconque, la valeur entière la plus approchée de chacune de ses racines réelles.

1. Théorème I. — Si l’on a une équation quelconque, et que l’on connaisse deux nombres tels qu’étant substitués successivement à la place de l’inconnue de cette équation, ils donnent des résultats de signes contraires, l’équation aura nécessairement au moins une racine réelles dont la valeur sera entre ces deux nombres.

Ce théorème est connu depuis longtemps, et l’on a coutume de le démontrer par la théorie des lignes courbes ; mais on peut aussi le démontrer directement par la théorie des équations, en cette sorte. Soient c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png l’inconnue de l’équation, et c26_4dfa0423ad729cc9b43c1be6c65b94d86296aef6.png ses racines ; l’équation se réduira, comme l’on sait, cette forme

c27_e2933a2d92b022a23b0c31f6e1fbd8788fd2adb1.png

Or soient c28_81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.png et c29_06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.png les nombres qui, substitués par c30_feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe.png donneront des résultats de signes contraires ; il faudra donc que ces deux quantités

c31_e2ca75af82dc47c8c226e87d97d5f70204c4ac52.png

soient de signes différents ; par conséquent, il faudra qu’il y ait au moins deux facteurs correspondants, comme c32_b87500f4f6cd585c3e7740f144f11f092656c222.png et c33_6d33640837bc20ba2f95c4dd8b7d218f9de5795f.png qui soient de signes contraires ; donc il y aura au moins une des racines de l’équation, comme c34_4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f.png qui sera entre les nombres c28_81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.png et c35_1aa74b799849683cad6a0b79ebd9bf58bdf9890a.png c’est-à-dire plus petite que le plus grand de ces deux nombres, et plus grande que le plus petit d’entre eux ; donc cette racine sera nécessairement réelle.

2. Corollaire I. – Donc, si les nombres c28_81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.png et c29_06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.png ne diffèrent l’un de l’autre que de l’unité ou d’une quantité moindre que l’unité, le plus petit de ces nombres, s’il est entier, ou le nombre entier qui sera immédiatement moindre que le plus petit de ces deux nombres, s’il n’est pas entier, sera la valeur entière la plus approchée d’une des racines de l’équation. Si la différence entre c28_81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.png et c29_06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.png est plus grande que l’unité, alors, nommant c36_dbc81015e49efc3d19c126a8df26af3a1317aee4.png les nombres entiers qui tombent entre c28_81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.png et c35_1aa74b799849683cad6a0b79ebd9bf58bdf9890a.png il est clair que, si l’on substitue successivement, à la place de l’inconnue, les nombres

c37_95eedef28d3a6c3aa076d33516ecd610a84160de.png

on trouvera nécessairement deux substitutions consécutives qui donneront des résultats de signes différents ; donc, puisque les nombres qui donneront ces deux résultats ne diffèrent entre eux que de l’unité, on trouvera, comme ci-dessus, la valeur entière la plus approchée d’une des racines de l’équation.

3. Corollaire II. – Toute équation dont le dernier terme est négatif, en supposant le premier positif, a nécessairement une racine réelle positive, dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée en substituant, à la place de l’inconnue, les nombres c38_f3ba0cb60f172118a2f7bdc49cfcfbe1b16206f5.png jusqu’à ce que l’on rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires.

Car, en supposant le premier terme c39_6393535b4bd57cc6ee63d1b5b7213e388572f691.png et le dernier c40_434ee2b3562811617b513b05022e7f2934d5a207.png ( c41_32db8e791eaa12e32afc8fc1d60386643e43e315.png étant un nombre positif), on aura, en faisant c42_d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b.png le résultat négatif c43_18de838ddb3c43fc698ccc577bf6d5937f02d2ee.png et en faisant c44_85d712b9802ff602e706efe6bde0ca96e5252699.png le résultat positif c45_37a1ff902f9414bd0ccf19e554e1a3904d2ce796.png donc on aura ici c46_b3e6ac10fa45fb984d886065f959a6bdd467b5e8.png et c47_15e0afee327cab549c29d8f45d44e5c59274c12e.png donc les nombres entiers intermédiaires seront tous les nombres naturels c48_9fa9c78a226e26e49e492a3ba011e7b3e30a3157.png donc, etc. (corollaire précédent).

De là on voit :

1o Que toute équation d’un degré impair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement une racine réelle positive ;

2o Que toute équation d’un degré impair, dont-le dernier terme est positif, a nécessairement une racine réelle négative ; car, en changeant c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png en c49_006d3ab40c7213cffe309bda1b58eb433b32dd9e.png le premier terme de l’équation deviendra négatif donc, changeant tous les signes pour rendre de nouveau le premier terme positif, le dernier deviendra négatif ; donc l’équation aura alors une racine réelle positive ; par conséquent, l’équation primitive aura une racine réelle négative ;

3o Que toute équation d’un degré pair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative ; car, premièrement, elle aura une racine réelle positive ensuite, comme, en changeant c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png en c49_006d3ab40c7213cffe309bda1b58eb433b32dd9e.png le premier terme demeure positif, la transformée aura aussi une racine réelle positive donc l’équation primitive en aura une réelle et négative.

4. Remarque. – Comme on peut toujours changer les racines négatives d’une équation quelconque en positives, en changeant seulement le signe de l’inconnue, nous ne considérerons dans la suite, pour plus de simplicité, que les racines positives ; ainsi, quand il s’agira d’examiner les racines d’une équation donnée, on considérera d’abord les racines positives de cette équation ; ensuite on y changera les signes de tous les termes où l’inconnuese trouvera élevée à une puissance impaire, et l’on considérera de même les racines positives de cette nouvelle équation ; ces racines, prises en moins, seront les racines négatives de la proposée.

5. Théorème II. – Si, dans une équation quelconque qui a une ou plusieurs racines réelles et inégales, on substitue successivement à la place de l’inconnue deux nombres, dont l’un soit plus grand et dont l’autre soit plus petit que l’une de ces racines, et qui diffèrent en même temps l’un de l’autre d’une quantité moindre que la différence entre cette racine et chacune des autres racines réelles de l’équation, ces deux substitutions donneront nécessairement deux résultats de signes contraires.

En effet, soient c50_b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.png une des racines réelles et inégales de l’équation, et c51_0e05092a8365466a9b6b09800679cc70d420ac08.png les autres racines quelconques ; soit de plus c52_1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.png la plus petite des différences entre la racine c50_b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.png et chacune des autres racines réelles de l’équation ; il est clair qu’en prenant c53_111fb89b8421f0a32942903bfe4401b9ffa63448.png et c54_bee11ec560ab536a16c2c2f0ba281564d86b8d11.png les quantités c55_cf31da73178eed89dc0110c9bfcde329897f1267.png et c56_7fc86429cb5bc852b6414ec4df07cddccbbb5df0.png seront de signes contraires, et que les quantités c57_1cb89f462f080451478c391307a5bdaed3cf1962.png seront chacune de même signe que sa correspondante c58_a74ea8caa38240f91942cca376c9bb5f83d317d4.png car, si c59_2dd9163738bd1fd604ec3b0a2115f4074d39d639.png et c60_9d4e0fa6b78b6f56a22f43ad79c07f5c4acb5185.png étaient de signes contraires, il faudrait que c61_7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.png fût aussi compris entre c28_81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.png et c35_1aa74b799849683cad6a0b79ebd9bf58bdf9890a.png ce qui ne se peut ; donc les deux produits

c62_027d3f8f45aa3216ebc79337670f0f8d8bd274eb.png

c’est-à-dire les résultats des substitutions de c28_81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.png et c29_06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.png à la place de l’inconnue c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png (no 1), seront nécessairement de signes contraires.

6. Corollaire I. – Donc, si dans une équation quelconque on substitue successivement à la place de l’inconnue les nombres en progression arithmétique

les résultats correspondants formeront une suite dans laquelle il y aura autant de variations de signes que l’équation proposée aura de racines réelles positives et inégales, mais dont les différences ne seront pas moindres que la différence c64_32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.png de la progression ; de sorte que, si

l’on prend c64_32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.png égale où moindre que la plus petite des différences entre les différentes racines positives et inégales de l’équation, la suite dont il s’agit aura nécessairement autant de variations de signes que l’équation contiendra de racines réelles positivés et inégales.

Donc, si la différence c64_32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.png est en même temps égale ou moindre que l’unité, on trouvera aussi, par ce moyen, la valeur entière approchée de chacune des racines réelles positives et inégalesde l’équation (no 2).

Si l’équation ne peut avoir qu’une seule racine réelle et positive ou si elle en a plusieurs, mais dont les différences ne soient pas moindres que l’unité, il est clair qu’on pourra faire c65_de3f86e761e6137faae4252c787eb3fc69944682.png c’est-à-dire qu’on pourra prendre les nombres naturels c66_df271420d2848a9e8ae84628957ec4a175a3f535.png pour les substituer à la place de l’inconnue ; mais, s’il y a dans l’équation des racines inégales dont les différences soient moindres que l’unité, alors il faudra prendre c64_32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.png moindre que l’unité, et telle qu’elle soit égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines dont il s’agit ainsi la difficulté se réduit à trouver la valeur qu’on doit donner à c67_54793fbbac10eddbdedded44e39ff274fffa8466.png en sorte qu’on soit assuré qu’elle ne surpasse pas la plus petite des différences entre les racines positives et inégales de l’équation proposée c’est l’objet du problème suivant.

7. Corollaire II. – Toute équation qui a un seul changement de signe a nécessairement une seule racine réelle positive.

Il est d’abord clair que l’équation aura nécessairement une racine réelle positive, à cause que son dernier terme sera de signe différent du premier (no 3). Or je vais démontrer qu’elle ne peut en avoir qu’une.

Soient (en supposant le premier terme positif, comme à l’ordinaire) c68_a8d98cdc2216c7394d189ea3e09a479c826263b6.png la somme de tous les termes positifs de l’équation, et c69_628b8dd0254a41a2803ecc14dc8848e786e05d1e.png la somme de tous les négatifs, en sorte que l’équation soit c70_d2a42f046bccb1d96d58fed554439156c7a5aa61.png et puisqu’il n’y a, par l’hypothèse, qu’un seul changement de signe, il est clair que les puissances de l’inconnue c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png du polynôme c68_a8d98cdc2216c7394d189ea3e09a479c826263b6.png seront toujours plus hautes que celles du polynôme c71_7a7bcd8a86f399a83f67a2bd4177ef89c410e301.png de sorte que si c72_117f33bc371ed44bd28a58dc0a86a6d2c8d59d72.png est la plus petite puissance de c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png dans le polynôme c73_5162e6a273a3d5ff655d9bfe43db7a03ccfae310.png et qu’on divise les deux polynômes c68_a8d98cdc2216c7394d189ea3e09a479c826263b6.png et c69_628b8dd0254a41a2803ecc14dc8848e786e05d1e.png par c74_b0dc0fa27307412255e935cf5a3a1e65f8b0bc94.png la quantité c75_7d48ee279dda7d92c7e85b6a3ec71d652ec2e28a.png ne contiendra que des puissances positives de c30_feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe.png et la quantité c76_056fe52a33685a18f39183430976bb706c574fd3.png ne contiendra que des puissances négatives de c77_9b08fb9834e51caaee3c51068ae1f7ff3bdc90c8.png d’où il suit que, c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png croissant, la valeur de c75_7d48ee279dda7d92c7e85b6a3ec71d652ec2e28a.png devra croître aussi, et, c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png diminuant, c75_7d48ee279dda7d92c7e85b6a3ec71d652ec2e28a.png diminuera aussi, à moins que le polynôme. c68_a8d98cdc2216c7394d189ea3e09a479c826263b6.png ne contienne que le seul terme c74_b0dc0fa27307412255e935cf5a3a1e65f8b0bc94.png auquel cas c75_7d48ee279dda7d92c7e85b6a3ec71d652ec2e28a.png sera toujours une quantité constante ; au contraire, c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png croissant, la valeur de c76_056fe52a33685a18f39183430976bb706c574fd3.png diminuera nécessairement, et, c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png diminuant, c76_056fe52a33685a18f39183430976bb706c574fd3.png ira en augmentant. Soit c78_ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.png la racine réelle et positive de l’équation, on aura donc, lorsque c79_1cf833aac653c126f4709372a64cc98b86430adb.png donc aussi c80_490528fe098ddec0dbb2779da2bafa4b26dbb418.png donc, en substituant au lieu de c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png des nombres quelconques plus grands que c24_f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1.png on aura toujours c81_d5135fb3a2ccb80787cc09e005a5b237fe89f811.png et par conséquent c82_1cf124da27d984ffebf61795c419e48920ad1f7e.png égal à un nombre positif, et, en substituant au lieu de c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png des nombres moindres que c24_f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1.png on aura toujours c83_24afc7ce8395cb25078a6c69f34f91de0ff6c4df.png et par conséquent c82_1cf124da27d984ffebf61795c419e48920ad1f7e.png égal à un nombre négatif : donc il sera impossible que l’équation ait des racines réelles positives plus grandes ou plus petites que c84_6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6.png

Si l’équation a plusieurs changements de signe, elle peut avoir aussi plusieurs racines réelles positives ; mais leur nombre ne peut jamais surpasser celui des changements ou variations de signe c’est ce théorème qu’on appelle la règle de Descartes. (Voir la Note VIII.)

8. Problème. – Une équation quelconque étant donnée, trouver une autre équation dont les racines soient les différences entre les racines de l’équation donnée.

Soit donnée l’équation

on sait que c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png peut être indifféremment égal à une quelconque de ses racines. Soit c86_0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2.png une autre racine quelconque de la même équation, en sorte que l’on ait aussi

c87_e227d261df66059a708e8e79af5658c3b75644ec.png

et soit c88_c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.png la différencie entre les deux racines c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png et c89_89d157cc2c35e9b7faa3c634b3155e12ef4a9476.png de manière que l’on ait c90_a3bdf67b72acef4d86ccefa04008d740b4e69fa9.png substituant cette valeur de c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png dans la dernière équation et ordonnant les termes par rapport à c91_30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6.png on aura une équation en c88_c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.png du même degré c92_dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c.png laquelle, en commençant par les derniers termes, sera de cette forme

c93_67782088125480360e0c7ec7599dbda76cdd26c5.png

les coefficients c94_77d3abd3e3c684935c78970c1fbf19d947c49949.png étant des fonctions de c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png telles que

c95_44cd00d54650941285a9f300a000472b9c30cd57.png

c’est-à-dire, suivant la notation du Calcul différentiel,

c96_51b378f97025d9153fc86257d5fcca466c4651ba.png

donc, puisque par l’équation donnée (B) on a c97_349cf1f457607188c46f6d202e97a513f43b0576.png l’équation précédente étant divisée par c88_c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.png deviendra celle-ci :

Cette équation, si l’on y substitue pour c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png une quelconque des racines de l’équation (B), aura pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres de la même équation (B) ; donc, si l’on combine les équations (B) et (C) en éliminant c30_feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe.png on aura une équation en c91_30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6.png dont les racines seront les différences entre chacune des racines de l’équation (B) et toutes les autres racines de la même équation ce sera l’équation cherchée.

Mais, sans exécuter cette élimination, qui serait souvent fort laborieuse, il suffira de considérer :

1o Que c26_4dfa0423ad729cc9b43c1be6c65b94d86296aef6.png étant les racines de l’équation en c30_feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe.png celles de l’équation en c88_c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.png seront

c99_0918bfeee4effc0304210141d52e0cfe71102666.png

d’où l’on voit que ces racines seront au nombre de c100_c5aaf77aebe140a1ac28ac57a8d24dcb049c9851.png e t que de plus elles seront égales deux à deux et de signes contraires ; de sorte que l’équation en c88_c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.png manquera nécessairement de toutes les puissances impaires de c101_1253d6a9c0511db1f5afadf2f736e7030c6b66e9.png donc, en faisant c102_13ba56764e852340e2f8d15473759b9890dec95f.png et c103_e69c2495e3253f0cb6b0617df308f86fccd4ad09.png l’équation dont il s’agit sera de cette forme

2o Que

c105_ffb80966a50d8fb56ba97a1630099ece3c6b187a.png

étant les différentes valeurs de c106_d3d9773c30e2bda2ecb0af8fa63f9e0e537f0fc4.png dans l’équation (D), le coefficient c78_ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.png sera égal à la somme de toutes ces valeurs, le coefficient c107_f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.png sera la somme de tous leurs produits deux à deux, etc.

Or il est facile de voir que

c108_c072b800a68ec469aebd6339f9c5cc3b14b69166.png

mais on sait que

c109_44b07dee9d2740d50ae7ff72319ac1c5f6ab2768.png

donc on aura

c110_b577767e7eae2edd42c796dcefa86402358c10ba.png

savoir

c111_7e06af9e81e689819f61ddd452d7472dde36e769.png

et l’on pourra, de la même manière, trouver la valeur des autres coefficients c112_113c4f53d2e6b22ce517e2d46c8ebfcf1f77bb22.png

Pour y parvenir plus facilement, supposons

c113_fae719ca5da450875b298ce27adbd15076cfb8bc.png

et l’on aura, comme l’on sait,

c114_a53ed9ab80f20c47b10a756cf372193c7caced2d.png

Supposons de plus

c115_07f6b85892a5f3b293fce44c7ac9b9bf7340f74b.png

il est facile de voir que l’on aura

c116_edbf235a4dc99b475861b53f57ae183783f05ca6.png

ou bien

c117_a9e95909e9ffc090adc32b1245ec16228a17b9aa.png

et, en général,

c118_13c61b1942171ca3fedc36a044520a4d431734b5.png

Les quantités c119_6fc0d4da347c41c9fc652aeeccb3e69f0f689823.png étant ainsi connues, on aura sur-lechamp les valeurs des coefficients c120_502c55592cd283419e4767a0c2bca6a672a0b1be.png de l’équation (D) par les formules

c121_a8560cc782dad040099d7ed6498d9f39e5754ab4.png

Ainsi l’on pourra déterminer directement les coefficients c120_502c55592cd283419e4767a0c2bca6a672a0b1be.png de l’équation (D) par ceux de l’équation donnée (B). Pour cela on cherchera d’abord, par les formules ci-dessus, les valeurs des quantités c122_876c653eae4b928691bf02c6b7b348f30d58515e.png jusqu’à c123_6f4e4a07241bde8579e858bedc4e8bb205c3aa60.png ensuite, à l’aide de celles-ci, on cherchera celle des quantités c119_6fc0d4da347c41c9fc652aeeccb3e69f0f689823.png jusqu’à c124_31e82abf89fa8ccdcef4b7e68944e7d27a65b60f.png et enfin, par ces dernières, on trouvera les valeurs cherchées des coefficients c125_7cda9f1839c8b70b10eb109e8bec683062e108a8.png

9.

Remarque

. – Il est bon de remarquer que l’équation (D) exprime également les différences entre les racines positives et négatives de l’équation (B) ; de sorte que la même équation aura lieu aussi lorsqu’on changera c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png en c126_ae55e66aeffc525917eed885b4b753ba5a7f8b3e.png pour avoir les racines négatives (no 4).

De plus, il est clair que l’équation (D) sera toujours la même, soit qu’on augmente ou qu’on diminue toutes les racines de l’équation proposée d’une même quantité quelconque ; donc, si cette équation a son second terme, on pourra le faire disparaître et chercher ensuite l’équation en c127_f897a2987190626eb80e1b3b96d45b32b282ad85.png on aura ainsi la même équation qu’on aurait eue si l’on n’avait pas fait évanouir le second terme. Mais l’évanouissement de ce terme rendra toujours la recherche des coefficients c120_502c55592cd283419e4767a0c2bca6a672a0b1be.png un peu plus facile, parce qu’on aura c128_78b2e24621fa7c4b6bb14dcbb8eb8a9b39e1d0a7.png et par conséquent aussi c129_8fcd34f00cf2421ec2869eb60ca50bc10244cd01.png de sorte que les formules du numéro précédent deviendront

c130_f7d3f3607b59b380281768b25b233c0e33f9ead4.png

10.

Corollaire I.

– Puisque les racines de l’équation (D) sont les carrés des différences entre les racines de l’équation proposée (B), il est clair que si cette équation (D) avait tous ses termes de même signe, auquel cas elle n’aurait aucune racine réelle positive, il est clair, dis-je, que, dans ce cas, les différences entre les racines de l’équation (B) seraient toutes imaginaires ; de sorte que cette équation ne pourrait avoir qu’une seule racine réelle ou bien plusieurs racines réelles et égales entre elles. Si ce dernier cas a lieu, on le reconnaîtra et on le résoudra par les méthodes connues (voir aussi plus bas le Chapitre II) ; à l’égard du premier cas, il suit du no 6 qu’on pourra prendre c131_858d938d8e122504588a67a82d22bde03b4770b2.png

11. Corollaire II. – Si l’équation (B) a un ou plusieurs couples de racines égales, il est clair que l’équation (D) aura une ou plusieurs valeurs de c106_d3d9773c30e2bda2ecb0af8fa63f9e0e537f0fc4.png égales à zéro ; de sorte qu’elle sera alors divisible une ou plusieurs fois par c132_988a5c1381a55d293d3550459d1be44b5052dd09.png Cette division faite, lorsqu’elle a lieu, soit l’équation restante disposée à rebours, de cette manière :

c134_0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.png étant c135_505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743.png ou c136_84596ed6de6011a4ee737dd18a6dffb713159d2e.png qu’on fasse c137_0bed785d9f2b69f9910ff6b2dfcc96c6aff6211d.png et ordonnant l’équation par rapport à c138_99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88.png on aura

Qu’on cherche par les méthodes connues la limite des racines positives de cette équation, et soit c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png cette limite, en sorte que c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png surpasse chacune des valeurs positives de c141_0af3e5c8679b2d5c583b70a6d57362fa85299224.png donc c142_3cffc330398b7610269489155413a4323dd097ed.png sera moindre que chacune des valeurs positives de c143_b66b917ff3ac8265889597e96d2ceb084e71647c.png ou de c144_693abbaae764a97b9c753fdb4a6c399abedae5f5.png et par conséquent moindre que chacune des valeurs de c145_7fbacd13b129ec4d0108f3c7c4daf4a22bf7597b.png à cause de c146_f136cb2749b6456516f4f70a3af225d0586e7abf.png (problème précédent).

Donc c147_e7be1e37807227f914ebf34046d4d79a20fb1a66.png sera nécessairement moindre qu’aucune des valeurs de c91_30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6.png c’est-à-dire qu’aucune des différences entre les racines réelles et inégales de l’équation proposée (B).

Donc :

1o Si c148_86a8dae447fa68cc1d1f75bd3319459def4f48de.png alors on sera sûr que l’équation (B) n’aura pas de racines réelles dont les différences soient moindres que l’unité ; ainsi, dans ce cas, on pourra faire sans scrupule c149_cf46f3fc2f930287a56caef6549a2909c3978fbd.png (no 6) ;

2o Mais, si c150_f85bbb89b9e9825162c95a42345aa2f72b538350.png ou c151_591741717a2e633f56e804b79ec26d67e1a5367e.png alors il peut se faire qu’il y ait dans l’équation (B) des racines dont les différences soient moindres que l’unité ; mais, comme la plus petite de ces différences sera toujours nécessairement plus grande que c152_81b09224aa796306bf8206f5077c7e08edad1a5a.png on pourra toujours prendre c153_08a58cfb45ec6ae9f0e0ad13e11f9ed1660a6c54.png ou c154_5081effa137daaa2fb698baa89a6429c76ec1219.png (numéro cité).

En général, soit c155_c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.png le nombre entier qui est égal ou immédiatement plus grand que c156_3c3721bd528c0a9e43a998faaea6047e62fbf551.png et l’on pourra toujours prendre c157_7a5021d6bc03a8e02d6ac2f91e6baa6af9136eda.png

12. Scolie I. – Quant à la manière de trouver la limite des racines d’une équation, la plus commode et la plus exacte est celle de Newton, laquelle consiste à trouver un nombre dont, les racines de l’équation proposée étant diminuées, l’équation résultante n’ait aucune variation de signe, car alors cette équation ne pourra avoir que des racines négatives par conséquent, le nombre dont les racines de la proposée auront été diminuées surpassera nécessairement la plus grande de ces racines.

Ainsi, pour chercher la limite c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png des racines de l’équation

on y mettra c159_1e834c6d9860c1fd645a49ff2a2bcb1a0845bcba.png au lieu de c138_99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88.png et ordonnant l’équation résultante par rapport à c138_99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88.png elle deviendra

c160_9b793e3771db06c8274d78b7fa9025ec45d18e24.png

dans laquelle

c161_7c9cd7ae45305dee32c39ec1ffad12a6a207303e.png

et il n’y aura qu’à chercher une valeur de c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png qui, étant substituée dans les quantités c162_4d25c212717880db8fd4df882bb8426e4403957f.png les rende toutes positives ; en commençant par la dernière de ces quantités, laquelle n’aura que deux termes et remontant successivement aux quantités précédentes, on déterminera facilement le plus petit nombre entier qui pourra être pris pour/, et qui sera la limite la plus proche cherchée.

Si l’on voulait éviter tout tâtonnement, il n’y aurait qu’à prendre pour c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png le plus grand coefficient des termes négatifs de l’équation (F), augmenté d’une unité ; car il est facile de prouver qu’en donnant à c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png cette valeur, les quantités c163_3c5218413306ec165b9d432dabd69b0f532c4769.png seront toujours positives.

Cette manière d’avoir la limite des racines d’une équation quelconque est due, je crois, à Maclaurin ; mais en voici une autre qui donnera le plus souvent des limites plus approchées.

Soient

c164_4c0c4650b9d63bd426049b771d828e4d5f4d7b96.png

les termes négatifs de l’équation (F); on prendra pour c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png la somme des deux plus grandes des quantités

c165_99ca4c30f36610267d26c5ac896f15b01ce66cb1.png

ou un nombre quelconque plus grand que cette somme. Cette proposition peut se démontrer de la même manière que la précédente ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas.

Au reste, il faut observer que les limites trouvées de l’une ou de l’autre de ces deux manières seront rarement les plus prochaines limites. Pour en avoir de plus petites, on essayera successivement pour c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png des nombres moindres, et l’on prendra le plus petit de ceux qui satisferont aux conditions que c163_3c5218413306ec165b9d432dabd69b0f532c4769.png soient des nombres positifs.

13.

Scolie II.

– Ayant donc trouvé la limite c140_829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.png de l’équation (F) et pris c155_c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.png égal ou immédiatement plus grand que c156_3c3721bd528c0a9e43a998faaea6047e62fbf551.png on fera c166_8d06a70d99d99646e031249076eb6996c30d69d1.png (no 11), et l’on substituera successivementdans l’équation proposée, à la place de l’inconnue, les nombres

c167_097c87ea0e80dbd3124f7c39995ea5df7029c9dd.png

les résultats venant de ces substitutions formeront une série dans laquelle il y aura autant de variations de signe que l’équation proposée contiendra de racines réelles positives et inégales, et, de plus, chacune de ces racines se trouvera entre les deux nombres qui auront donné des résultats consécutifs de signes différents ; de sorte que si les nombres

c168_456949e13de2d5947ee28ef9f5cc9f8fdaa2bf2d.png

et c169_8ff1782cebabc7f9dbb9628d16be32cb8229a751.png donnent des résultats de signe contraire, il y aura une racine entre c168_456949e13de2d5947ee28ef9f5cc9f8fdaa2bf2d.png et c170_524f3abef5938c47f215e53308bbdb481afb433d.png et par conséquent, le nombre entier qui approchera le plus de c168_456949e13de2d5947ee28ef9f5cc9f8fdaa2bf2d.png sera la valeur entière approchée de cette racine (no 2).

Ainsi l’on connaîtra par ce moyen, non-seulement le nombre des racines positives et inégales de l’équation proposée, mais encore la valeur entière approchée de chacune de ces racine.

Au reste, il est clair que si l’on trouvait un ou plusieurs résultats égaux à zéro, les nombres qui auraient donné ces résultats seraient des racines exactes de l’équation proposée.

Pour faciliter et abréger ce calcul, on fera encore les remarques suivantes :

1o Si l’on cherche par les méthodes des numéros précédents la limite des racines positives de l’équation proposée, il est clair qu’il sera inutile d’y substituer à la place de l’inconnue des nombres plus grands que cette limite. En effet, il est facile de voir qu’en substituant des nombres plus grands que cette limite, on aura toujours nécessairement des résultats positifs. Ainsi, nommant c171_b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.png la limite dont il s’agit, le nombre des substitutions à faire sera égal à c172_9dda29f743f09284333315e50ea9de6bac48f342.png et par conséquent toujours limité.

En général, sans chercher la limite c173_00aebb041f4a569408e310294efcc29e0eded7dc.png il suffira de pousser les substitutions jusqu’à ce que le premier terme de l’équation ou la somme des premiers termes, s’il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe c174_e863acd450b409ef6564ff90998f5371e205731e.png soit égale ou plus grande que la somme de tous les termes négatifs ; car il est facile de prouver, par la méthode du no 7, qu’en donnant à l’inconnue des valeurs plus grandes, on aura toujours à l’infini des résultats positifs.

2o Au lieu de substituer à la place de l’inconnue c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png les fractions c175_a458d73d74a46da30a98d0915afed2913835931a.png on y mettra d’abord c176_2b0bf8096512923f3c565188ce9c393c7299892a.png à la place de c30_feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe.png ou, ce qui revient au même, on multipliera le coefficient du second terme par c177_44e185ab9c990830d5055fa3ae698a4225ce67e0.png celui du troisième terme par c178_9af3aaa4777222fb5b9ea4fd2853a84ce93e5ebc.png et ainsi des autres ; et l’on substituera ensuite à la place de c25_87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.png les nombres naturels c66_df271420d2848a9e8ae84628957ec4a175a3f535.png jusqu’à la limite de cette équation, ou bien jusqu’à ce que le premier terme ou la somme des premiers, quand il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe, soit égale ou plus grande que la somme des négatifs ; par ce moyen, les résultats seront tous des nombres entiers, et les racines de l’équation proposée se trouveront nécessairement entre les nombres consécutifs qui donneront des résultats de signes contraires, ces nombres étant divisés par c177_44e185ab9c990830d5055fa3ae698a4225ce67e0.png comme nous l’avons vu plus haut.

3o Soit c179_0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.png le degré de l’équation dans laquelle il s’agit de substituer successivement les nombres naturels c180_b9ba09238f6608ae658a1830151407e027d415ec.png je dis que, dès que l’on aura trouvé les c181_c6f7ed29a2b4a62d3b6af05cd91a58ffc6094201.png premiers résultats, c’est-à-dire ceux qui répondent à

c182_9edbbde71c8af787e9fd0ee378a4970a1492ae3d.png

on pourra trouver tous les suivants par la seule addition.

Pour cela, il n’y aura qu’à chercher les différences des