Probabilités et statistiques: Ce que j'en ai compris, si ça peut aider…
Par Jean Luc Buetas
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Aperçu du livre
Probabilités et statistiques - Jean Luc Buetas
Stendhal
Avant Propos
Je ne suis pas mathématicien, loin de là. D’où vient alors cette folle idée de rédiger un ouvrage sur les probabilités et les statistiques ? En fait, tout au long de mon cursus, j’ai eu droit à des cours de mathématiques, et à l’Université, particulièrement, des cours sur les probabilités et les statistiques. Dire que je trouvais cela passionnant serait trahir la vérité. Mais tout au long de ma vie professionnelle, que ce soit à travers la géologie, la pédologie ou l’œnologie, j’ai du, contraint et forcé, utiliser les statistiques, et régulièrement revenir sur les enseignements que l’on m’a dispensé, que ce soit pour discriminer deux especes d’oursins fossiles ou pour le calibrage d’un automate d’analyses dernier cri, impossible d’échapper à l’utilisation des statistiques.
Une autre façon de voir les choses, a été l’observation du quotidien. Pas une seule journée ne se passe sans que je fustige ces journalistes qui dissertent sur des sondages alors qu’ils sont peu ou prou totalement ignorants de ce que peuvent être les statistiques et à fortiori comment on réalise un sondage et quel crédit lui apporter. Ou alors, au travers des discussions, je reste toujours étonné des conclusions tirées de leur logique, de bonne foi, par mes interlocuteurs, et qu’ils admettraient bien volontiers fausses s’ils avaient un minimum de connaissances dans le domaine des probabilités et des statistiques.
Je me suis replongé dans mes cours de fac, et j’ai retrouvé les enseignements sur ce sujet donné par un professeur de mathématiques, Monsieur François DRESS, qui grâce à son humour et sa patience avait réussi le tour de force de me faire aimer, au moins un peu, cette discipline. Encore aujourd’hui, je le remercie sincérement.
Ainsi est née l’idée de rédiger un petit opuscule sur ce que j’avais compris des probabilités et des statistiques, en partant du principe (si peu mathématique), que si j’avais compris alors d’autres pourraient comprendre aussi. Et comme je ne suis pas mathématicien, j’aurais la possibilité de m’exprimer de manière plus « compréhensible » pour mes contemporains.
Dernier point, mais d’importance, cet ouvrage est totalement inspiré et tiré du cours « Mathématiques- Calcul des Probabilités » de François DRESS dispensé à la Faculté des Sciences de l’Université de Bordeaux en 1979. Sans vergogne, et sans aucun remord ou regret ou honte, j’ai puisé abondement dans ce cours jusqu’à copier des phrases entières quand elles étaient bien mieux formulées que les miennes, y compris pour les exemples donnés.
Chers amis, bonne ballade mathématique…
Introduction
Inutile, je pense, de rappeler l’importance de connaître, ou tout le moins avoir des notions de probabilités et de statistiques. Les ignorer c’est se couper d’un pan entier de connaissances pourtant si utiles et indispensables tant dans la vie professionnelle ou la vie quotidienne. Ce serait comme de nos jours, ignorer les nouvelles technologies (qui ne resteront nouvelles qu’un temps). Actuellement, quatre vingt pour cent d’une tranche d’âge arrivent au baccalauréat. Tous ont donc eu des cours de mathématiques dans ce domaine. Combien après quelques années en ont encore quelques notions en mémoire ?
L’inconvénient dans l’enseignement des mathématiques reste souvent l’utilisation du jargon repoussoir, et l’utilisation de celles-ci comme moyen de sélection ce qui en fait une matière souvent détestée. C’est ce qu’affirme André JACQUART, Prix Nobel de Physique : « Les techniques de raisonnement regroupées sous le terme de mathématiques représentent un outil d'une telle efficacité que son usage se révèle nécessaire dans toutes les branches de la connaissance. Son apprentissage doit donc être entrepris le plus tôt possible et conduit de telle façon que, loin de rebuter, il provoque l'appétit de toujours aller plus loin. Ce qui est d'autant plus facile qu'il peut être présenté comme un jeu. Comble de contresens, dans l'enseignement, les maths sont présentées comme un obstacle à franchir et utilisées comme instrument de sélection. » Que dire de plus !
Ainsi, dans cet ouvrage, on essaiera d’utiliser le plus possible le langage quotidien et l’humour. Certes, on abordera les concepts fondamentaux du calcul des probabilités mais sans suivre véritablement l’orthodoxie mathématique le but étant d’en faire comprendre la signification. Les théorèmes ne seront pas forcément démontrés, mais on essaiera d’en tirer la substantifique moelle au travers de nombreux exemples.
Enfin, les mathématiques comme toute langue étrangère, possède un vocabulaire. Pour aborder une langue il faut posséder un minimum de vocabulaire. En mathématique, le vocabulaire est souvent symbolisé. Pour aider à la compréhension, on trouvera en annexe un tableau regroupant la plupart des symboles mathématiques, l’alphabet grec souvent utilisé, et nous essaieront le plus souvent possible de traduire en « bon français » les formules symbolisées.
Chapitre 1 : Les espaces probabilisés
La notion d’espace en mathématiques est un concept relativement flou pour le commun des mortels. En théorie des ensembles, nous dirons que cela peut être un patatoïde cacahuétiforme, ce qui ne nous avance guère. Disons que c’est un machin dans lequel il y a des choses.
Autre chose, en probabilités, on utilise souvent la notion de « hasard ». On lui attache le plus souvent le sens courant. Dans le domaine qui nous intéresse on l’associera à la notion d’ « expériences » dont certaines caractéristiques du résultat sont « variables », et donc, semblent échapper à toute possibilité de prévision. C’est le cas pour le tirage du loto, par exemple, ou du jet d’une pièce pour jouer à pile ou face. Prenons ce dernier exemple : on suppose que tout le monde est d’accord pour dire que le résultat du lancer d’une pièce en l’air est du au hasard. C’est pile ou face. La conception intuitive du hasard fait consensus, et on peut dire que pour une pièce lancée en l’air, retomber sur pile ou face est un évènement aléatoire, aléatoire est l’adjectif utilisé en mathématique pour exprimer ce qui est relatif au hasard.
Pour aller plus loin, nous devons établir un « modèle » mathématique des phénomènes aléatoires. Nous devons introduire trois notions de base :
Tout d’abord, la notion d’ « épreuve », ce qu’on a appelé plus haut expérience : lancer une pièce, lancer des dès, tirer une carte d’un jeu de 52 cartes, tirer les boules du loto…
Et celle d’ « évènement » : la pièce tombe sur pile, obtenir un double as, tirer le huit de carreau…
Enfin, la notion de « probabilité » d’un événement aléatoire. La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1, 0 est la probabilité de l'événement impossible, et 1 est la probabilité de l'événement certain.
Plus la probabilité d'un événement est proche de 1, plus l'événement a des chances
de se réaliser.
Revenons sur la notion de hasard. Finalement, contrairement au sens utilisé dans la vie courante, il apparaît en mathématique, que le hasard n’est pas n’importe quoi. On rattache la notion de hasard à des expériences (pas seulement scientifiques) et à priori, on considère que le résultat est variable et impossible à prévoir. C’est le bon sens même. Si je tire une carte d’un jeu de 52 cartes, il est impossible de prévoir quelle sera la carte tirée. Dans ce cas il s’agit d’une expérience unique. Par contre, si je répète l’expérience de nombreuse fois, on constate vite que la « fréquence » d’un évènement donné tend vers une valeur déterminée, appelée aussi fréquence limite. Cette fréquence limite comprise entre 0 et 1, représente la définition intuitive de la probabilité de l’évènement considéré.
Résumons :
Epreuve : par exemple le jet d’un dé à six faces numérotées de 1 à 6 ;
Evénement : on obtient un 6,
Probabilité : la probabilité d’obtenir un six après un jet, p= 1/6 soit 0.17, que l’on peut traduire par, on a dix sept chances sur cent d’obtenir un 6.
2- Quelques définitions.
Bien. Evitons de nous faire peur. Les matheux parlent de définitions axiomatiques. Ou lala, kétokolé ? Pas de panique.
Un axiome désigne une proposition non démontrée, utilisée comme fondement d’un raisonnement ou d’une théorie mathématique. En gros, pour nous, c’est une règle du jeu, et pour jouer aux probas, des règles du jeu sont indispensables pour éviter ambigüités et contre-sens si courants quand on reste sur le mode intuitif.
D’autre part, nous allons avoir recours au vocabulaire de la théorie des ensembles. Aîe ! La panique s’installe, c’est le retour des patatoïdes cacahuétiformes bananoiesques. Rassurez-vous, représenter des ensembles ou des sous-ensembles ne pose pas plus de difficultés que de dessiner un grand rond dans lequel on fait 52 points pour représenter les 52 cartes d’un jeu de cartes, et prendre un crayon vert pour entourer les trèfles, un rouge pour les piques, un bleu pour les cœurs et un noir pour les carreau.
Allez, au boulot. Soit une « épreuve », c’est-à-dire une expérience aléatoire, on doit alors lui associer l’ensemble des résultats élémentaires qui peuvent se produire. On note cet ensemble Ω. C’est l’espace fondamental.
Ayant l’espace fondamental, on définit ensuite un ensemble A d’évènements. On note P(Ω), qui est l’ensemble des parties de Ω. Il va de soit que A est inclus dans P(Ω). Dans notre étude, chaque fois que cela sera possible on prendra A = P(Ω). Soit un évènement A, A⊂ Ω (on dit qu’À est inclus dans Ω). Si on effectue une épreuve et si on observe le résultat ω, avec ω ∈ Ω (petit oméga appartient à grand oméga), alors, on dit :
L’évènement A s’est réalisé si ω ∈ A
L’évènement A ne s’est pas réalisé si ω ∉ A
Les évènements élémentaires {ω} sont formés chacun par un unique résultat « élémentaire » ω
L’évènement certain est formé par Ω tout entier
L’évènement impossible est formé par ∅ (l’ensemble vide)
La figure ci-dessous, illustre notre propos :
Figure n°1 : L’ensemble Ω avec A⊂ Ω.
Prenons un exemple. Le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire d’espace fondamental : Ω = {1;2;3;4;5;6}. L’ensemble E1 = {2;4;6} est un événement. En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair ». L’ensemble E = {1;2;3} est un autre événement. Ce second événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 » Ces événements peuvent être représentés par un diagramme :
Les évènements doivent avoir chacun une probabilité, qui est un nombre compris entre 0 et 1. On définit une application¹ de l’ensemble des évènements dans l’intervalle fermé [0, 1]. Dans cette ouvrage elle sera notée P, elle est aussi appelée mesure de probabilité. Ceci nous amène à la définition suivante :
La probabilité d’un événement élémentaire est un nombre réel tel que:
Ce nombre est compris entre 0 et 1
La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l’espace fondamental vaut 1.
Comme on veut que le calcul des probabilités fournisse des modèles mathématiques efficaces des phénomènes aléatoires concrets, il faut que notre application P possède quelques propriétés essentielles :
P(Ω) = 1
A ⋂ B = ∅, ⇒ P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) ou en presque bon français, si les évènements A et B sont indépendants (qu’ils n’ont aucun impact l’un sur l’autre) la probabilité que les deux évènements se produisent est égale à la probabilité de l’un plus la probabilité de l’autre. Les matheux liront : si A inter B égal l’ensemble vide alors la probabilité de A union B = la probabilité de A plus la probabilité de B.
Cette formulation, d’un point de vue strictement mathématique n’est pas tout à fait complète, mais elle est amplement suffisante dans le cadre de cet ouvrage.
Des deux axiomes précédents découlent quelques propriétés :
P(∅) = 0 (la probabilité de l’ensemble vide égale zéro)
P(∁A) = 1-P(A) (la probabilité du complémentaire de A est égale à 1 moins la probabilité de A)
A⊂B ⇒ P(A) ≤ P(B) (si A est inclus dans B, la probabilité de A est inférieure à la probabilité de B). Si on prend l’exemple d’un jeu de 52 cartes, intuitivement, on comprend que la probabilité de tirer un roi de trèfle est plus faible que celle de tirer un trèfle tout court.
Pour le paragraphe suivant, si ça vous barbe, vous pouvez le sauter et aller directement au résumé. Mais pour les puristes, nous avons parlé de « l’ensemble des évènements » et non comme l’auraient fait les matheux de P(Ω), « l’ensemble de toutes les parties de Ω », car souvent et pour des raisons « techniques », il n’est pas possible d’attribuer une probabilité à tous les sous-ensembles de Ω. Que faire alors ? On va s’arranger et ne prendre en compte que trois cas (mais qui suffisent amplement à notre étude) :
Comme Ω est un ensemble fini, on peut sans problème considérer que l’ensemble des évènements A est l’ensemble des parties de Ω, A = P(Ω). C’est ce que nous ferons systématiquement dans cet ouvrage.
Ω étant un ensemble dénombrable, numérotable, qu’on peut chiffrer, ou comme disent les matheux qui peut être mis en bijection avec ² de sorte que Ω = {ω1, ω2, …, ωn,…}. On peut donc également prendre A = P(Ω).
Si on prend Ω = (ensemble des réels³), cet ensemble n’étant pas dénombrable, on ne peut pas prendre A = P( ).
Ce qu’il faut retenir :
Espace probabilisé (Ω, A, P), avec :
Un espace fondamental Ω, ensemble de tous les résultats possibles ω
Un ensemble